Question

4．兩根足夠長的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為L，導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路，如圖所示．兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m，棒ab和cd的有效電阻分別為R和2R．回路中其余部分的電阻可不計(jì)．在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．設(shè)兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無摩擦地滑行，開始時(shí)，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v₀，若兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)中始終不接觸，求：
（1）在運(yùn)動(dòng)過程棒ab產(chǎn)生的焦耳熱最多是多少？
（2）當(dāng)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?\frac{4}{5}$時(shí)，棒cd的速度和加速度分別是多少？

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)量守恒定律求解共同速度，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律和能量分配關(guān)系求解ab產(chǎn)生的焦耳熱；
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求解棒cd的速度，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．

解答 解：（1）當(dāng)兩棒速度相等時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱最多；在運(yùn)動(dòng)過程中兩棒總動(dòng)量守恒，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：mυ₀=2mυ　　　　
得共同速度為：υ=$\frac{1}{2}$υ₀
根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律得：Q=$\frac{1}{2}$mυ₀²-$\frac{1}{2}$•2mυ²=$\frac{1}{4}$mυ₀²．
所以在運(yùn)動(dòng)過程棒ab產(chǎn)生的焦耳熱最多是為：Q_R=$\frac{R}{R+2R}Q$=$\frac{1}{12}$mυ₀²；
（2）當(dāng)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?\frac{4}{5}$時(shí)，即v₁=$\frac{4}{5}{v}_{0}$，設(shè)cd棒的速度為v₂，根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得：mυ₀=mv₁+mv₂　
解得：v₂=$\frac{1}{5}{v}_{0}$；
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得感應(yīng)電動(dòng)勢為：E=BL（v₁-v₂）=$\frac{3}{5}{BLv}_{0}$，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{3R}=\frac{BL{v}_{0}}{5R}$，
根據(jù)牛頓第二定律可得棒cd的加速度為：a=$\frac{BIL}{m}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{5mR}$．
答：（1）在運(yùn)動(dòng)過程棒ab產(chǎn)生的焦耳熱最多是$\frac{1}{12}$mυ₀²；
（2）當(dāng)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?\frac{4}{5}$時(shí)，棒cd的速度為$\frac{1}{5}{v}_{0}$，加速度是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{5mR}$．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．