Question

17．如圖所示，傾角為θ的傳送帶，以v₀的恒定速度按圖示方向運動．已知傳送帶上下兩端相距L，今將一與傳送帶間動摩擦因數(shù)為μ的滑塊A靜止放于傳送帶上端，求A從上端運動到下端的時間t．

Answer 1

分析 對物體受力分析，利用牛頓第二定律和運動學公式求的加速度，關鍵是討論L的大小和摩擦力的大小

解答 解：對物體受力分析可知
（1）當mgsinθ＜μmgcosθ時，物體在斜面上的加速度為a=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}=gsinθ+μgcosθ$
達到共同速度所需時間為t=$\frac{{v}_{0}}{gsinθ+μgcosθ}$
此時下滑的位移為x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$
當L≤x時經歷的時間由公式L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$可得t=$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ+μgcosθ}}$
當L≥x時，達到共同速度之后物體繼續(xù)隨傳送帶做勻速運動經歷的時間為t$′=\frac{L-x}{{v}_{0}}=\frac{L}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$
故經歷的總時間為${t}_{總}=t+t′=\frac{L}{{v}_{0}}+\frac{{v}_{0}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$
（2）當mgsinθ＞μmgcosθ時，物體在斜面上的加速度為a=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}=gsinθ+μgcosθ$
達到共同速度所需時間為t=$\frac{{v}_{0}}{gsinθ+μgcosθ}$
此時下滑的位移為x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$
當L≤x時經歷的時間由公式L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$可得t=$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ+μgcosθ}}$
當L≥x時，達到共同速度之后物體繼續(xù)加速運動，加速度為a′$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}=gsinθ-μgcosθ$
繼續(xù)加速所需時間為t″，則$L-x={v}_{0}t″+\frac{1}{2}a′t{″}^{2}$
解得t″=$\frac{-2{v}_{0}+\sqrt{{4v}_{0}^{2}-8（gsinθ-μgcosθ）（\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}-L）}}{2（gsinθ-μgcosθ）}$
故下滑總時間為${t}_{總}=t+t″=\frac{{v}_{0}}{gsinθ+μgcosθ}+\frac{-2{v}_{0}+\sqrt{{4v}_{0}^{2}-8（gsinθ-μgcosθ）（\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}-L）}}{2（gsinθ-μgcosθ）}$
答：A從上端運動到下端的時間t為$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ+μgcosθ}}$或$\frac{L}{{v}_{0}}+\frac{{v}_{0}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$或$\frac{{v}_{0}}{gsinθ+μgcosθ}+\frac{-2{v}_{0}+\sqrt{{4v}_{0}^{2}-8（gsinθ-μgcosθ）（\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}-L）}}{2（gsinθ-μgcosθ）}$．

點評 解決本題的關鍵理清木塊的運動情況，結合牛頓第二定律和運動學公式求解