Question

7．雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力作用下，分別圍繞其連線上某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．某雙星質(zhì)量分別為m₁、m₂，做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為R₁、R₂，周期為T，則下列正確的是（　　）

• A． 兩星質(zhì)量一定相等
• B． 兩星質(zhì)量之和為m₁+m₂=$\frac{4{π}^{2}（{R}_{1}+{R}_{2}）^{3}}{G{T}^{2}}$
• C． 兩星質(zhì)量之比為$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$
• D． 有一顆星質(zhì)量必為$\frac{4{π}^{2}{R}_{1}（{R}_{1}+{R}_{2}）^{2}}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 雙星系統(tǒng)中，兩顆星球繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且兩者始終與圓心共線，相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度，即角速度相等，則周期也相等．但兩者做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不相等．

解答 解：A、雙星的周期相等，則角速度相等，兩星質(zhì)量分別為m₁和m₂，都繞連線上O點(diǎn)作周期為T的圓周運(yùn)動(dòng)，星球1和星球2到O的距離分別為R₁和R₂．
由萬有引力定律提供向心力：
對(duì)m₁：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}{（\frac{2π}{T}）}^{2}{R}_{1}$
對(duì)于m₁而言，所受萬有引力大小恒定，其圓周運(yùn)動(dòng)向心力與萬有引力相等，根據(jù)表達(dá)式知，其質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成反比．
得：${m}_{2}=\frac{4{π}^{2}{L}^{2}{R}_{1}}{G{T}^{2}}$     ①
對(duì)m₂：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}{（\frac{2π}{T}）}^{2}{R}_{2}$
${m}_{1}=\frac{4{π}^{2}{L}^{2}{R}_{2}}{G{T}^{2}}$   ②
比較①②可知，兩星質(zhì)量不一定相等．故A錯(cuò)誤；
B、由幾何關(guān)系知：R₁+R₂=L    ③
三式聯(lián)立解得：m_總=m₁+m₂=$\frac{4{π}^{2}{L}^{2}}{G{T}^{2}}（{R}_{1}+{R}_{2}）=\frac{4{π}^{2}（{R}_{1}+{R}_{2}）^{3}}{G{T}^{2}}$故B正確；
C、聯(lián)立①②可得：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}$．故C錯(cuò)誤；
D、聯(lián)立①③可得：${m}_{2}=\frac{4{π}^{2}（{R}_{1}+{R}_{2}）^{2}{R}_{1}}{G{T}^{2}}$．故D正確．
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 處理雙星問題必須注意兩點(diǎn)：
（1）兩顆星球運(yùn)行的角速度、周期相等；
（2）軌道半徑不等于引力距離．弄清每個(gè)表達(dá)式中各字母的含義，在示意圖中相應(yīng)位置標(biāo)出相關(guān)量，可以最大限度減少錯(cuò)誤．