Question

9．如圖所示，半徑分別為R和r（R＞r）的甲乙兩光滑圓軌道安置在同一豎直平面內(nèi)．兩軌道之間由一光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上有一輕彈簧被a、b兩個(gè)小球夾住，但不拴接．同時(shí)釋放兩小球，
（1）已知小球a的質(zhì)量為m，若a、b球恰好能通過各自的圓軌道的最高點(diǎn)，求小球b的質(zhì)量；
（2）若m_a=m_b=m，且要求a、b都還能夠通過各自的最高點(diǎn)，則彈簧在釋放前至少具有多犬的彈性勢能？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律得出最高點(diǎn)的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列出等式求解
（2）由動(dòng)量守恒定律得出速度關(guān)系，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得a、b球恰好能通過各自的圓軌道的最高點(diǎn)的速度分別為：
v′_a=$\sqrt{gR}$…①
v′_b=$\sqrt{gr}$…②
由動(dòng)量守恒定律mv_a=m_bv_b…③
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv${\;}_{a}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv′${\;}_{a}^{2}$+mg•2R…④
$\frac{1}{2}$m_bv${\;}_^{2}$=$\frac{1}{2}$m_bv′${\;}_^{2}$+m_bg•2r…⑤
聯(lián)立①②③④⑤得：
$\frac{m}{{m}_}$=$\sqrt{\frac{r}{R}}$
即：m_b=m$\sqrt{\frac{R}{r}}$
（2）若m_a=m_b=m，由動(dòng)量守恒定律得：v_a=v_b=v
當(dāng)a球恰好能通過圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，E_彈最小，
根據(jù)機(jī)械能守恒得：
E_p=[$\frac{1}{2}$m（$\sqrt{gR}$）²+mg•2R]×2=5mgR
答：（1）小球b的質(zhì)量為m$\sqrt{\frac{R}{r}}$；
（2）若m_a=m_b=m，且要求a、b都還能夠通過各自的最高點(diǎn)，則彈簧在釋放前至少具有5mgR的彈性勢能．

點(diǎn)評 解決該題關(guān)鍵能判斷出小球能通過最高點(diǎn)的條件，然后根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律聯(lián)立列式求解．