Question

7．如圖所示，AB為豎直轉(zhuǎn)軸，細(xì)繩AC和BC的結(jié)點(diǎn)C系一質(zhì)量為m的小球，兩繩能承擔(dān)的最大拉力均為2mg，當(dāng)AC和BC均拉直時(shí)∠ABC=90°，∠ACB=53°，ABC能繞豎直軸AB勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，因而C球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求：
（1）當(dāng)m的線速度增大時(shí)，AC和BC（BC=1m）哪條繩先斷？繩斷時(shí)球速是多少？
（2）一條繩被拉斷后，m的速率繼續(xù)增加，另一條繩斷時(shí)球速是多少？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)小球線速度增大時(shí)，BC逐漸被拉直，小球線速度增至BC剛被拉直時(shí)，對(duì)小球進(jìn)行受力分析，合外力提供向心力，求出A繩的拉力，線速度再增大些，T_A不變而T_B增大，所以BC繩先斷；
（2）當(dāng)BC繩斷之后，小球線速度繼續(xù)增大，小球m作離心運(yùn)動(dòng)，AC繩與豎直方向的夾角α增大，對(duì)球進(jìn)行受力分析，根據(jù)合外力提供向心力列式求解．

解答 解：（1）當(dāng)小球線速度增大時(shí)，BC逐漸被拉直，小球線速度增至BC剛被拉直時(shí)，
對(duì)球：T_Asin∠ACB-mg=0…①
${T_A}cos∠ACB+{T_B}=m\frac{v^2}{r}$…②
由①可求得AC繩中的拉力${T_A}=\frac{5}{4}mg$，
線速度再增大些，T_A不變而T_B增大，所以BC繩先斷．
當(dāng)BC繩剛要斷時(shí)，拉力為2mg，
則：$\frac{5}{4}mgcos53°+2mg=\frac{m{v}^{2}}{r}$  ③
代入數(shù)據(jù)解得：v=5.24m/s
（2）繩子AC的長(zhǎng)度：L=$\frac{BC}{cos53°}=\frac{5}{3}$m
當(dāng)BC繩斷之后，小球線速度繼續(xù)增大，小球m作離心運(yùn)動(dòng)，AC繩與豎直方向的夾角α增大，對(duì)球：T'_Acosα-mg=0…④
${T'_A}sinα=m\frac{v^2}{r'}$…⑤
可以求得當(dāng)α=60°時(shí)，T_AC=2mg，線速度再增大，則AC即斷． 
此時(shí)：$r′=L•cos30°=\frac{5\sqrt{3}}{6}$m
代入數(shù)據(jù)解得：v=6.35m/s．
答：（1）當(dāng)m的線速度增大時(shí)，BC（BC=1m）繩先斷，繩斷時(shí)球速是5.24m/s
（2）一條繩被拉斷后，m的速率繼續(xù)增加，另一條繩斷時(shí)球速是6.35m/s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是搞清向心力的來(lái)源，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解，難度適中．