Question

10．兩條平行光滑金屬導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，其水平部分存在著豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T，導(dǎo)軌間距離L=0.5m，導(dǎo)軌傾斜部分與水平面夾角θ=30°，頂端所接電阻R=5Ω，現(xiàn)有一質(zhì)量為m=1kg，接入導(dǎo)軌間電阻r=3Ω的金屬棒水平橫放在導(dǎo)軌距水平面高度h=0.2m處，由靜止釋放（不計(jì)導(dǎo)軌電阻，不計(jì)金屬棒滑動(dòng)時(shí)在導(dǎo)軌彎折處的能量損失），求：
（1）金屬棒在導(dǎo)軌水平部分滑動(dòng)時(shí)加速度的最大值a_m；
（2）金屬棒在水平導(dǎo)軌上做什么運(yùn)動(dòng)，并求出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電阻R中產(chǎn)生的熱量；
（3）當(dāng)金屬棒沿水平導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)位移為x=8m時(shí)，金屬棒兩端的電勢(shì)差．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)金屬棒進(jìn)入水平軌道時(shí)，受到向左的安培力作用而減速，產(chǎn)生的感應(yīng)電流減小，受到的安培力減小，加速度最小，所以金屬棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)加速度最大，先求出感應(yīng)電流，再由牛頓第二定律求最大加速度．
（2）金屬棒在水平導(dǎo)軌上做減速運(yùn)動(dòng)，最終停止運(yùn)動(dòng)，由能量守恒定律求R上產(chǎn)生的熱量．
（3）根據(jù)牛頓第二定律、加速度的定義式，運(yùn)用微元法求出金屬棒運(yùn)動(dòng)x=8m位移時(shí)的速度，再由E=BLv和歐姆定律求金屬棒兩端的電勢(shì)差．

解答 解：（1）金屬棒在斜面上下滑時(shí)，有 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，得 v₀=$\sqrt{2gh}$
金屬棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)加速度最大，此時(shí)金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv
感應(yīng)電流為 I=$\frac{E}{R+r}$
所受的安培力 F=BIL
根據(jù)牛頓第二定律得：F=ma_m；
聯(lián)立得：a_m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gh}}{（R+r）m}$
代入解得 a_m=0.25m/s²；
（2）金屬棒進(jìn)入水平軌道時(shí)，受到向左的安培力作用而做減速運(yùn)動(dòng)，最終停止運(yùn)動(dòng)．
根據(jù)能量守恒得：
  Q_總=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mgh=1×10×0.2J=2J
電阻R中產(chǎn)生的熱量 Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q_總=$\frac{5}{5+3}$×2J=1.25J
（3）設(shè)金屬棒沿水平導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)速度為v時(shí)瞬時(shí)加速度為a，則由牛頓第二定律得
   $\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=ma
又 a=$\frac{△v}{△t}$
聯(lián)立得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=m$\frac{△v}{△t}$
得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$△t=m△v
而v△t=△x
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{R+r}$=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
即得 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}x}{R+r}$=mv₀-mv
解得 v=1m/s
金屬棒兩端的電勢(shì)差 U=$\frac{R}{R+r}$E=$\frac{R}{R+r}$BLv=$\frac{5}{8}$×2×0.5×1=0.625V
答：
（1）金屬棒在導(dǎo)軌水平部分滑動(dòng)時(shí)加速度的最大值a_m是0.25m/s²；
（2）金屬棒在水平導(dǎo)軌上做減速運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電阻R中產(chǎn)生的熱量是1.25J；
（3）當(dāng)金屬棒沿水平導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)位移為x=8m時(shí)，金屬棒兩端的電勢(shì)差是0.625V．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與電路知識(shí)的綜合，掌握法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和能量守恒定律就可正確求解．在求解有關(guān)熱量的問(wèn)題，往往有兩種選擇：一是焦耳定律；二是能量守恒定律，對(duì)于電流是變化的情形，應(yīng)根據(jù)能量守恒定律求解．