Question

16．宇航員在地球表面上用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為x₀，如果宇航員到站在某星上，仍用該彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量質(zhì)量為m的物體重力，已知某星的質(zhì)量為地球質(zhì)量的$\frac{1}{8}$，某星的半徑為地球半徑的$\frac{1}{2}$，忽略星球的自轉(zhuǎn)，已知地球的重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G．求：
（1）彈簧的勁度系數(shù)k；
（2）在某星上測(cè)量物體重力時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量x；
（3）求某星的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)胡克定律和力的平衡求勁度系數(shù)k
（2）先求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)胡克定律求在星球上彈簧的伸長(zhǎng)量
（3）根據(jù)密度公式求星球的密度

解答 解：（1）根據(jù)題意，在地球上有：$mg=k{x}_{0}^{\;}$
解得：$k=\frac{mg}{{x}_{0}^{\;}}$
（2）在地球表面：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
在某星球表面：$mg′=G\frac{\frac{1}{8}M•m}{（\frac{1}{2}R）_{\;}^{2}}$
解得：$g′=\frac{1}{2}g$
在星球表面，mg′=kx
即：$m•\frac{1}{2}g=\frac{mg}{{x}_{0}^{\;}}x$
解得：$x=\frac{1}{2}{x}_{0}^{\;}$
（3）地球表面：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得地球質(zhì)量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
星球的質(zhì)量$M′=\frac{1}{8}M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{8G}$
星球的體積$V′=\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）_{\;}^{3}=\frac{1}{6}π{R}_{\;}^{3}$
星球的密度
$ρ=\frac{M′}{V′}=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{8G}×\frac{6}{π{R}_{\;}^{3}}=\frac{3g}{4πRG}$
答：（1）彈簧的勁度系數(shù)k為$\frac{mg}{{x}_{0}^{\;}}$；
（2）在某星上測(cè)量物體重力時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量x為$\frac{1}{2}{x}_{0}^{\;}$；
（3）求某星的密度ρ為$\frac{3g}{4πRG}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律和胡克定律等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用