Question

9．如圖所示，固定于同一條豎直線上的A、B是兩個(gè)等量異種電荷的點(diǎn)電荷，電荷電量均為Q，其中A帶正電荷，B帶負(fù)電荷，D、C是它們連線的垂直平分線，A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一邊長(zhǎng)為d的等邊三角形，另有一個(gè)帶電小球P，質(zhì)量為m、電荷量為+q（可視為質(zhì)點(diǎn)），被長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣輕質(zhì)細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，O點(diǎn)在C點(diǎn)正上方．現(xiàn)在把小球P拉到M點(diǎn)，使細(xì)線水平繃直且與A、B、C處于同一豎直面內(nèi)，并由靜止開(kāi)始釋放，小球P向下運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)，速度為v，已知靜電力常量為k，若取D點(diǎn)的電勢(shì)為零，重力加速度為g，試求：
（1）在A、B所形成的電場(chǎng)中，MC兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U_MC；
（2）M點(diǎn)的電勢(shì)ϕ_M；
（3）絕緣細(xì)線在C點(diǎn)所受到的拉力F_T．

Answer 1

分析 （1）小球P從M運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，重力做正功，電場(chǎng)力做負(fù)功，電場(chǎng)力做功為qU_MC，根據(jù)動(dòng)能定理求解M、C兩點(diǎn)的電勢(shì)差U_MC；
（2）根據(jù)DC所在直線是等量異種電荷的一根等勢(shì)線，D、C兩點(diǎn)的電勢(shì)相等，即可求得M點(diǎn)的電勢(shì)ϕ_M；
（3）小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)速度為零，圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為零，即小球在N點(diǎn)沿細(xì)線方向合力為零，由此即可列式求解細(xì)線對(duì)小球的拉力F_T．

解答 解：（1）小球P從M點(diǎn)→C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
  $mgL+q{U_{MC}}=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
解得 ${U_{MC}}=\frac{{m{v^2}}}{2q}-\frac{mgL}{q}$
（2）DC所在直線是等量異種電荷的一根等勢(shì)線，D、C兩點(diǎn)的電勢(shì)相等，則C點(diǎn)的電勢(shì)為 ϕ_C=ϕ_D=0
因?yàn)閁_MC=ϕ_M-ϕ_C，則得 ϕ_M=${U_{MC}}=\frac{{m{v^2}}}{2q}-\frac{mgL}{q}$
（3）小球在C點(diǎn)受力如下圖．

由幾何知識(shí)得 θ=60°
由庫(kù)侖定律有：${F_1}={F_2}=k\frac{Qq}{d^2}$
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：${F_T}-mg-2{F_1}cosθ=m\frac{v^2}{L}$
則得 ${F_T}=mg+m\frac{v^2}{L}+\frac{kQq}{d^2}$（方向豎直向上）
答：
（1）在A、B所形成的電場(chǎng)中，MC兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U_MC是$\frac{m{v}^{2}}{2q}$-$\frac{mqL}{q}$．
（2）M點(diǎn)的電勢(shì)ϕ_M是$\frac{m{v}^{2}}{2q}$-$\frac{mqL}{q}$．
（3）絕緣細(xì)線在C點(diǎn)所受到的拉力F_T是mg+m$\frac{{v}^{2}}{L}$+$\frac{kQq}{1616166^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查電場(chǎng)中力與能的性質(zhì)，要注意小球在拉力、重力及庫(kù)侖力的作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)明確合力充當(dāng)了向心力．