Question

5．如圖所示，質(zhì)量為$\frac{1}{2}$m的帶有$\frac{1}{4}$圓弧的滑塊A靜止放在光滑的水平面上，圓弧半徑R=1.8m，圓弧的末端點(diǎn)切線水平，圓弧部分光滑，水平部分粗糙，A的左側(cè)緊靠固定擋板，距離A的右側(cè)S處是與A等高的平臺(tái)，平臺(tái)上寬度為l=0.5m的M、N之間存在一個(gè)特殊區(qū)域，B進(jìn)入M、N之間就會(huì)受到一個(gè)大小為F=mg恒定向右的作用力．平臺(tái)MN兩點(diǎn)間粗糙，其余部分光滑，M、N的右側(cè)是一個(gè)彈性卡口，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m的小滑塊B從A的頂端由靜止釋放，當(dāng)B通過(guò)M、N區(qū)域后碰撞彈性卡口的速度v不小于5m/s時(shí)可通過(guò)彈性卡口，速度小于5m/s時(shí)原速反彈，設(shè)m=1kg，g=10m/s²，求：
（1）滑塊B剛下滑到圓弧底端時(shí)對(duì)圓弧底端的壓力多大？
（2）若A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.5，保證A與平臺(tái)相碰前A、B能夠共速，則S應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？
（3）在滿(mǎn)足（2）問(wèn)的條件下，若A與B共速時(shí)，B剛好滑到A的右端，A與平臺(tái)相碰后B滑上平臺(tái)，設(shè)B與MN之間的動(dòng)摩擦因數(shù)0＜μ＜1，試討論因μ的取值不同，B在MN間通過(guò)的路程．

Answer 1

分析 （1）B下滑時(shí)機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出B到達(dá)底端的速度，然后由牛頓第二定律求出支持力，然后求出壓力．
（2）A、B系統(tǒng)動(dòng)量守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律求出共同速度，然后應(yīng)用動(dòng)能定理求出S滿(mǎn)足的條件．
（3）應(yīng)用動(dòng)能定理求出B的路程．

解答 解：（1）設(shè)B滑到A的底端時(shí)速度為v₀，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
$mgR=\frac{1}{2}mv_0^2$，
代入數(shù)據(jù)解得v₀=6m/s，
在圓弧底端，由牛頓第二定律得：${F_N}-mg=m\frac{v_0^2}{R}$，
解得：F_N=30N，
由牛頓第三定律可知，對(duì)圓弧底端的壓力為：30N，方向豎直向下．
（2）設(shè)AB共速速度v₁，乙向右為正方向，
由動(dòng)量守恒定律得：$m{v_0}=（m+\frac{1}{2}m）{v_1}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=4m/s，
對(duì)A，由動(dòng)能定理得：${μ_1}mgS=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}mv_1^2$，
代入數(shù)據(jù)解得：S=0.8m；
即保證A與平臺(tái)相碰前A、B能夠共速，S應(yīng)滿(mǎn)足  S＞0.8m；
（3）由（2）可知B進(jìn)入MN間時(shí)速度大小為v₁，當(dāng)?shù)竭_(dá)卡扣時(shí)速度為v=5m/s時(shí)
由動(dòng)能定理得：$Fl-μmgl=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v^2}$，
解得：μ=0.1，
即0＜μ≤0.1，B從卡口右側(cè)離開(kāi)，通過(guò)的路程0.5m
若B被彈回時(shí)到達(dá)M點(diǎn)速度剛好為零，此時(shí)摩擦因數(shù)μ₂，
由動(dòng)能定理得：$-{μ_2}mg.2l=0-\frac{1}{2}mv_1^2$，
解得μ₂=0.8，
即0.1＜μ≤0.8，B從M左側(cè)離開(kāi)，通過(guò)的路程1m，
若0.8＜μ＜1，B最終靜止在N點(diǎn)，通過(guò)的路程S′，
由動(dòng)能定理得：$Fl-μmg{S^/}=0-\frac{1}{2}mv_1^2$，
解得：${S^/}=\frac{13}{10μ}$；
答：（1）滑塊B剛下滑到圓弧底端時(shí)對(duì)圓弧底端的壓力為30N，方向豎直向下；
（2）若A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.5，保證A與平臺(tái)相碰前A、B能夠共速，則S應(yīng)滿(mǎn)足的條件是：S＞0.8m；
（3）0＜μ≤0.1，B從卡口右側(cè)離開(kāi)，通過(guò)的路程0.5m；0.1＜μ≤0.8，B從M左側(cè)離開(kāi)，通過(guò)的路程1m；若0.8＜μ＜1，B通過(guò)的路程為$\frac{13}{10μ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理的應(yīng)用，難度較大，分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程即可正確解題，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律時(shí)要注意正方向的選擇．