Question

如圖所示，aa′、bb′、cc′、dd′為區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的豎直邊界，三個(gè)區(qū)域的寬度相同，長(zhǎng)度足夠大，區(qū)域Ⅰ、Ⅲ內(nèi)分別存在垂直紙面向外和向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域Ⅱ存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一群速率不同的帶正電的某種粒子，從邊界aa′上的O處，沿著與Oa成30°角的方向射入Ⅰ區(qū)．速率小于某一值的粒子在Ⅰ區(qū)內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為t₀；速率為v₀的粒子在Ⅰ區(qū)運(yùn)動(dòng)后進(jìn)入Ⅱ區(qū)．已知Ⅰ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，Ⅱ區(qū)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為2Bv₀，不計(jì)粒子重力．求：

(1)該種粒子的比荷；
(2)區(qū)域Ⅰ的寬度d；
(3)速率為v₀的粒子在Ⅱ區(qū)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的初、末位置間的電勢(shì)差U；
(4)要使速率為v₀的粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)后能返回到Ⅰ區(qū)，Ⅲ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的大小范圍應(yīng)為多少？

Answer 1

(1)　(2)　(3)  (4)B′≥B

(1)速率小于某一值的粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為t₀，這些粒子不能從bb′離開(kāi)區(qū)域Ⅰ，其軌跡如圖a所示(圖中只畫(huà)出某一速率粒子的軌跡)．粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心角為φ₁＝300°①
t₀＝T＝T②
由牛頓第二定律得qvB＝③
T＝④
得粒子的比荷＝⑤

(2)設(shè)速率為v₀的粒子在區(qū)域Ⅰ內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)圓心角為φ₂，φ₂＝φ₁＝60°⑥
由幾何知識(shí)可知，穿出bb′時(shí)速度方向與bb′垂直，其軌跡如圖b所示，設(shè)軌跡半徑為R₀，d＝R₀sin φ₂⑦
R₀＝
區(qū)域Ⅰ的寬度d＝⑧
(3)設(shè)速率為v₀的粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅱ時(shí)的速度大小為v₁，方向與邊界cc′的夾角為φ₃
水平方向有d＝v₀t　豎直方向有v_y＝at⑨
a＝＝⑩
tan φ₃＝?
v₁＝2v₀?
φ₃＝30°?
由動(dòng)能定理得qU＝mv－mv?
U＝?
(4)速率為v₀的粒子在區(qū)域Ⅲ內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Ⅲ區(qū)內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁時(shí)，粒子恰好不能從區(qū)域Ⅲ的邊界dd′飛出，設(shè)其軌跡半徑為r，則r(1＋cos φ₃)＝d?
r＝，解得B₁＝B?
所以，粒子能返回Ⅰ區(qū)，B′的大小范圍為B′≥B?