Question

（19分）如圖，在區(qū)域I（0≤x≤d）和區(qū)域II（d≤x≤2d）內(nèi)分別存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一質(zhì)量為m、帶電荷量q（q＞0）的粒子a于某時(shí)刻從y軸上的P點(diǎn)射入?yún)^(qū)域I，其速度方向沿x軸正向。已知a在離開區(qū)域I時(shí)，速度方向與x軸正方向的夾角為30°；此時(shí)，另一質(zhì)量和電荷量均與a相同的粒子b也從p點(diǎn)沿x軸正向射入?yún)^(qū)域I，其速度大小是a的1/3。不計(jì)重力和兩粒子之間的相互作用力。求

（1）粒子a射入?yún)^(qū)域I時(shí)速度的大��；
（2）當(dāng)a離開區(qū)域II時(shí)，a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差。

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1）設(shè)粒子a在I內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為C（在y軸上），半徑為R_a1，粒子速率為v_a，運(yùn)動(dòng)軌跡與兩磁場區(qū)域邊界的交點(diǎn)為，如圖。由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得

         （1）
由幾何關(guān)系得           （2）
           （3）
式中
由（1）（2）（3）式得
                        （4）
（2）設(shè)粒子在II區(qū)內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的的圓心為，半徑為，射出點(diǎn)為（圖中末畫出軌跡）

由洛侖茲力分式和牛頓第二定律得
                   （5）
由（1）（5）式得：           （6）
C，和三點(diǎn)共線，且由（6）式知必位于
          （7）
的平面上，由對稱性知 縱坐標(biāo)相同，即
                  （8）
式中h是C點(diǎn)的Y坐標(biāo)
設(shè)b在I中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得
 （9）
設(shè)a到達(dá)點(diǎn)時(shí)，b位于點(diǎn)，轉(zhuǎn)過的角度為α。如果b沒有飛出I，則
 （10）
 （11）
式中，t是a在區(qū)域II中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，而
 （12）
 （13）
由⑤⑨⑩（11）（12）（13）式得
 （14）
由①③⑨（14）式可見，b沒有飛出I。點(diǎn)的y坐標(biāo)為
 （15）
由（1）（3）（8）（9）（14）（15）式及題給條件得，a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差為
 （16）