Question

3．如圖所示，電阻忽略不計(jì)的、兩根平行的光滑金屬導(dǎo)軌豎直放置，其上端接一阻值為3Ω的定值電阻R．在水平虛線L₁、L₂間有一與導(dǎo)軌所在平面垂直的勻強(qiáng)磁場B，磁場區(qū)域的高度為d=0.5m．導(dǎo)體棒a的質(zhì)量m_a=0.2kg、電阻R_a=3Ω；導(dǎo)體棒b的質(zhì)量m_b=0.1kg、電阻R_b=6Ω，它們分別從圖中M、N處同時(shí)由靜止開始在導(dǎo)軌上無摩擦向下滑動(dòng)，且都能勻速穿過磁場區(qū)域，當(dāng)b 剛穿出磁場時(shí)a正好進(jìn)入磁場．設(shè)重力加速度為g=10m/s²．（不計(jì)a、b之間的作用）求：
（1）在整個(gè)過程中，a、b兩棒克服安培力分別做的功；
（2）M點(diǎn)和N點(diǎn)距L₁的高度．

Answer 1

分析 （1）a、b兩棒都能勻速穿過磁場區(qū)域，穿過磁場過程中，重力勢能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，而產(chǎn)生的內(nèi)能等于兩棒克服安培力分別做的功；
（2）根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢公式、歐姆定律、安培力公式推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系式，根據(jù)兩棒進(jìn)入磁場都做勻速運(yùn)動(dòng)，得到速度的表達(dá)式．由速度位移關(guān)系式列出M點(diǎn)和N點(diǎn)距L₁的高度與速度的關(guān)系式．根據(jù)當(dāng)b剛穿出磁場時(shí)a正好進(jìn)入磁場的條件，列出兩棒的速度關(guān)系式，聯(lián)立求出M點(diǎn)和N點(diǎn)距L₁的高度．

解答 解：（1）由能量守恒定律可知，
a棒克服安培力做功：W_a=m_agd=1.0J，
b棒克服安培力做功：W_b=m_bgd=0.5J；
（2）b在磁場中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)速度為v_b，
總電阻R₁=R_b+$\frac{{R}_{a}R}{{R}_{a}+R}$=7.5Ω，
b中的電流：${I_b}=\frac{{BL{υ_b}}}{R_1}$  ①
b所受的安培力大小為F_b=BI_bL，
由平衡條件得：$\frac{{{B^2}{L^2}{υ_b}}}{R_1}={m_b}g$ ②
同理，對a棒，由平衡條件得：$\frac{{{B^2}{L^2}{υ_a}}}{R_2}={m_a}g$ ③
由以上各式得，$\frac{υ_b}{υ_a}=\frac{3}{4}$  ④
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式得：υ²=2gh  ⑤
整理得：$\frac{h_b}{h_a}=\frac{9}{16}$   ⑥
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式得：v_a=υ_b+gt  ⑦
由勻速運(yùn)動(dòng)的位移公式得：d=υ_bt  ⑧
由④⑤⑥⑦⑧得 H_a=$\frac{4}{3}m$  ⑨H_b=$\frac{3}{4}$m  ⑩；
答：（1）在整個(gè)過程中，a、b兩棒克服安培力分別做的功為1J、0.5J；
（2）M點(diǎn)和N點(diǎn)距L₁的高度分半為：$\frac{4}{3}$m、$\frac{3}{4}$m．

點(diǎn)評 本題電磁感應(yīng)與力學(xué)、電路等知識(shí)的綜合應(yīng)用，要善于挖掘題中隱含的條件，分析導(dǎo)體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵．