Question

11．建筑工地上常用的一種“深穴打夯機”如圖所示，電動機帶動兩個滾輪始終勻速轉(zhuǎn)動．當(dāng)夯桿在深穴底時，兩個滾輪緊壓夯桿，依靠摩擦力將夯桿提上來，在夯桿下端達(dá)到深穴口前，兩個滾輪彼此分開，使夯桿下端與地面相平時，速度正好為零；然后，夯桿在自身重力的作用下落回深坑，夯實坑底；兩個滾輪再次壓緊，夯桿再次被提上來，如此循環(huán)運動．已知兩個滾輪邊緣的速度相同為v=3m/s，每個滾輪對夯桿的正壓力N=3.25×10⁴ N，滾輪和夯桿間的動摩擦因數(shù)μ=0.4，夯桿的質(zhì)量m=2×10³kg，坑深h=13.95m．假定在打夯的過程中坑的深度變化不大，可以視為不變．取g=10m/s²．求：
（1）夯桿加速上升過程中加速度的大小；
（2）兩個滾輪彼此分開時，夯桿下端到坑底的距離；
（3）一個完整的上升下降過程，夯桿的運動時間．

Answer 1

分析 （1）先求出夯桿受到的摩擦力，從而求出夯桿向上勻加速運動的加速度．
（2）由速度位移關(guān)系公式求得夯桿被滾輪壓緊加速上升至與滾輪速度相等時夯的底端離坑底的高度h₁；再分析夯桿上升過程的運動情況，從而確定兩個滾輪彼此分開時，夯桿下端到坑底的距離；
（3）根據(jù)（2）問的分析，分勻加速上升、勻速上升和勻減速上升以及自由下落四段求一個完整的上升下降過程夯桿的運動時間．

解答 解：（1）夯桿在上升過程中，對夯桿進行受力分析知，夯桿所受摩擦力為：
    f₁=2μN=2×0.4×3.25×10⁴ N=2.6×10⁴N；
夯桿產(chǎn)生加速度為：a₁=$\frac{{f}_{1}-mg}{m}$=$\frac{{f}_{1}}{m}$-g=$\frac{2.6×1{0}^{4}}{2×1{0}^{3}}$-10=3m/s²
（2）當(dāng)夯桿與滾輪相對靜止時，有 v=a₁t₁=3m/s，得：t₁=1s
勻加速過程夯桿上升的高度 h₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\frac{1}{2}×3×{1}^{2}$=1.5m
當(dāng)夯桿以v=3m/s的初速度豎直上拋后，繼續(xù)上升的高度為：h₂=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{{3}^{2}}{20}$=0.45m
所以當(dāng)夯桿加速向上運動速度到達(dá)v=3m/s后，夯桿勻速上升，勻速上升高度為：h₃=h-h₁-h₂=13.95m-1.5m-0.45m=12m
因此，夯桿先勻加速上升，后勻速上升，再豎直上拋．故兩個滾輪彼此分開時，夯桿下端到坑底的距離為：△h=13.95m-0.45m=13.5m．
（3）夯桿豎直上拋運動的時間為：t₂=$\frac{v}{g}$=$\frac{3}{10}$=0.3s；
夯桿勻速上升的時間為：t₃=$\frac{{h}_{3}}{v}$=$\frac{12}{3}$=4s；
由h=$\frac{1}{2}$gt₄²可得夯桿從最高點開始自由下落的時間為：t₄=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×13.95}{10}}$≈1.67s
故打夯周期為：T=t₁+t₂+t₃+t₄=1+0.3+4+1.67=6.97s
答：（1）夯桿加速上升過程中加速度的大小是3m/s²；
（2）兩個滾輪彼此分開時，夯桿下端到坑底的距離是13.5m；
（3）一個完整的上升下降過程，夯桿的運動時間是6.97s．

點評 本題的關(guān)鍵是分析求出夯桿的運動情況，根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式邊計算邊分析，要注意抓住各個過程之間的聯(lián)系，如速度關(guān)系、位移關(guān)系等．