Question

9．如圖所示，在xOy平面內，有一以O為圓心、R為半徑的半圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直坐標平面向里，磁感應強度大小為B．位于O點的粒子源向第二象限內的各個方向連續(xù)發(fā)射大量同種帶電粒子，粒子均不會從磁場的圓弧邊界射出．粒子的速率相等，質量為m、電荷量為q（q＞0），粒子重力及粒子間的相互作用均不計．
（1）若粒子帶負電，求粒子的速率應滿足的條件及粒子在磁場中運動的最短時間；
（2）若粒子帶正電，求粒子在磁場中能夠經(jīng)過區(qū)域的最大面積．

Answer 1

分析 （1）洛倫茲力提供向心力與圓周運動結合求出半徑公式，根據(jù)幾何關系找到半徑的臨界值，即可求出粒子速率應滿足的條件，分析所有粒子軌跡，找出時間最短的情況，運用周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$，結合粒子轉過的圓心角，即可求出粒子運動的最短時間；
（2）畫出粒子從O點沿不同方向射入磁場時所經(jīng)過的區(qū)域求其面積即可．

解答 解：（1）粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…①
根據(jù)題意得幾何關系：r$≤\frac{R}{2}$…②
聯(lián)立①②式得：v≤$\frac{qBR}{2m}$
粒子在磁場中做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$…③
通過比較所有粒子在磁場中運動的軌跡可得，沿y軸正向射入磁場中的粒子在磁場中運動時間最短，
則：t=$\frac{T}{2}$…④
聯(lián)立③④式可得：t=$\frac{πm}{qB}$
（2）分析可得，粒子在磁場中能經(jīng)過的區(qū)域為半圓，如圖中陰影部分，

有幾何關系可得該半圓的半徑：r′=$\frac{1}{2}$R…⑤
面積：S=$\frac{1}{2}πr{′}^{2}$…⑥
聯(lián)立⑤⑥式可得：S=$\frac{1}{8}π{R}^{2}$
答：（1）若粒子帶負電，粒子的速率應不大于$\frac{qBR}{2m}$，粒子在磁場中運動的最短時間為$\frac{πm}{qB}$；
（2）若粒子帶正電，粒子在磁場中能夠經(jīng)過區(qū)域的最大面積為$\frac{1}{8}π{R}^{2}$．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的運動，第一問難度不大，第二問對數(shù)學幾何能力要求較高，解題的關鍵是要作出粒子的運動軌跡，確定圓周運動的圓心、半徑和圓心角，結合半徑公式、周期公式靈活求解．