Question

1．真空中有如圖所示矩形區(qū)域，該區(qū)域總高度為2l₀，總寬度為6l₀，其中上半部分有磁感應強度為B、垂直紙面向里的水平勻強磁場，下半部分有豎直向下的勻強電場，x軸恰為水平分界線，正中心恰為坐標原點O．在x=4l₀處有一與x軸垂直的足夠大的光屏（圖中未畫出）．質量為m、電荷量的絕對值為q的帶負電粒子源源不斷地從下邊界的坐標值為（-l₀，-l₀）的P點由靜止開始經過勻強電場加速，通過x軸后進入勻強磁場中．粒子間的相互作用和粒子重力均不計．
（1）若粒子在磁場中恰好不從上邊界射出，求加速電場的場強E
（2）若將光屏向x軸正方向平移，粒子在打在屏上的位置始終不改變，則加速電場的場強E′多大？

Answer 1

分析 （1）粒子恰不從上邊界射出，則粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為l₀，從而由洛侖茲力提供向心力可以求出進入磁場的速度，此速度是電場中加速獲得，由動能定理求出電場強度的大�。�
（2）光屏向x軸正方向平移，粒子在打在屏上的位置始終不改變，則表明粒子做勻速圓周運動后從右邊界射出時，速度方向應水平向右．那么做勻速圓周運動的半徑與右邊界的寬度4l₀有一定的幾何關系，同理可以求出加速電場的電場強度大�。�

解答 解：（1）帶電粒子在電場中加速時，根據動能定理有：
qEl₀=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
進入勻強磁場后做勻速圓周運動有：
qvB=$m\frac{{v}^{2}}{r}$
要求粒子在磁場中恰好不從上邊界射出，則r=l₀
解得：E=$\frac{q{B}^{2}{l}_{0}}{2m}$
（2）由“將光屏向x軸正方向平移，粒子打在屏上的位置始終不變”，知離開磁場時粒子速度方向必平行于x軸，沿+x軸方向．故進入勻強磁場后做勻速圓周運動的半徑為：
r′=$\frac{4{l}_{0}}{2n+3}$   （n=1，2，3…）
又 qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r′}$
帶電粒子在電場中加速，根據動能定理有：
qE′l₀=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
解得：E′=$\frac{8q{B}^{2}{l}_{0}}{（2n+3）^{2}m}$    （n=1，2，3…）
答：（1）若粒子在磁場中恰好不從上邊界射出，加速電場的場強E為$\frac{q{B}^{2}{l}_{0}}{2m}$．
（2）若將光屏向x軸正方向平移，粒子在打在屏上的位置始終不改變，則加速電場的場強E′為$\frac{8q{B}^{2}{l}_{0}}{（2n+3）^{2}m}$  （n=1，2，3…）．

點評 要注意的是第二問：平移光屏后帶電粒子打在光屏上位置不變，則速度方向必平行于x軸，那么帶電粒子在磁場中是至少旋轉2.5個圓周，不可能是1.5個圓周，否則粒子從上邊界穿出，所以有4l₀=（2n+3）r′．