Question

15．如圖，一長(zhǎng)為2L的平行板電容器，兩板間所加的電壓為U，電容器的下方存在一腰長(zhǎng)為L(zhǎng)的等腰三角形區(qū)，內(nèi)部存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，今有一質(zhì)量為m電量為q的正粒子，由上板的中央位置O′處?kù)o止出發(fā)，經(jīng)加速度電壓加速后，從下板正中央的小孔O垂直于極板進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，假設(shè)粒子能與極板發(fā)生無(wú)能量損失的碰撞，且碰撞前后粒子的電量不變，忽略粒子的重力、粒子與極板的碰撞時(shí)間以及空氣的阻力，求：
（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間的速度；
（2）如果粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后能以最大的回旋半徑到達(dá)下極板，則磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）如果改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間也隨之變化，求粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度；
（2）結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑，結(jié)合半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）粒子速率恒定，從進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次打到ED板的圓周軌跡到EC邊相切時(shí)，路程最長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)求出最長(zhǎng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：
qU=$\frac{1}{2}$mv²，解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）要使粒子半徑最大，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)與AC相切，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)可得：R+$\frac{R}{sinθ}$=L，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提向心力，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：B=$\frac{（1+\sqrt{2}）\sqrt{2mqU}}{qL}$；
（3）粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，r越小最后一次打在AB板的點(diǎn)越靠近A端點(diǎn)，
在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的累積路程越長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，r為無(wú)窮小時(shí)，
經(jīng)過(guò)n個(gè)半圓周，最后一次打在A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

則：n=$\frac{L}{2r}$，圓周運(yùn)動(dòng)周期：T=$\frac{2πr}{v}$，
最長(zhǎng)的極限時(shí)間：t_m=n$\frac{T}{2}$=$\frac{πL}{2}$$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$；
答：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間的速度為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）如果粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后能以最大的回旋半徑到達(dá)下極板，則磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{（1+\sqrt{2}）\sqrt{2mqU}}{qL}$；
（3）如果改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間也隨之變化，粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間應(yīng)為$\frac{πL}{2}$$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．

點(diǎn)評(píng) 處理帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，會(huì)確定圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑、圓心角，結(jié)合半徑公式、周期公式進(jìn)行求解．