Question

10．某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星，試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落12小時內(nèi)有多長時間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對光的折射．（注：若sinθ=a，θ=arcsina）

Answer 1

分析 地球同步衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，受到的萬有引力提供向心力，其向心力用周期表示，結(jié)合“黃金代換”求出同步衛(wèi)星的軌道半徑，再利用幾何關(guān)系確定太陽照不到同步衛(wèi)星的范圍，那么，即可求出看不到衛(wèi)星的時間

解答 解：設(shè)地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r，由地球的萬有引力提供向心力，即：
 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²
 對地面上的物體有：G $\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g
由以上兩式可得：r=$\root{3}{\frac{{T}^{2}{R}^{2}g}{4{π}^{2}}}$
如圖所示，觀察者從A點(diǎn)到B點(diǎn)的時間內(nèi)，將看不到衛(wèi)星，由幾何關(guān)系可知：
  sinθ=$\frac{R}{r}$
觀察者看不見此衛(wèi)星的時間：t=$\frac{2θ}{2π}$T
由以上兩式聯(lián)立得：t=$\frac{T}{π}$arcsin$\root{3}{\frac{4{π}^{2}R}{g{T}^{2}}}$
答：春分那天（太陽光直射赤道）在日落12小時內(nèi)觀察者看不見此衛(wèi)星的時間為$\frac{T}{π}$arcsin$\root{3}{\frac{4{π}^{2}R}{g{T}^{2}}}$．

點(diǎn)評 解決天體問題把握兩條思路：一是萬有引力提供向心力，二是重力等于萬有引力．針對本題關(guān)鍵還要分析好幾何關(guān)系來求解．