Question

1．如圖甲所示，彎曲部分AB和CD是兩個半徑都為0.3m的$\frac{1}{4}$圓弧軌道，中間的BC段是豎直的薄壁細圓管（細圓管內徑略大于小球的直徑）軌道，分別與上下圓弧軌道相切連接，BC段的長度L為0.2m．下圓弧軌道與水平軌道相切，其中D、A分別是上下圓弧軌道的最高點與最低點，整個軌道固定在豎直平面內．有一質量為0.3kg的小球以一定的速度沿水平軌道向右運動并從A點進入圓弧，不計小球運動中的一切阻力，求：
（1）如果小球從D點以5m/s的速度水平飛出，求落地點與D點的水平距離；
（2）如果小球從D點以5m/s的速度水平飛出，求小球過圓弧A點時對軌道的壓力；
（3）如果在D點右側平滑連接一半徑R=0.4m的半圓形光滑軌道DEF，如圖乙所示，要使小球不脫離軌道運動，求小球在水平軌道上向右運動的速度大小范圍（計算結果可以用根式表示）．

Answer 1

分析 （1）小球從D點以5m/s的速度水平飛出后做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律可求得落地點與D點的水平距離；
（2）根據(jù)機械能守恒定律可求得小球經(jīng)過A點的速度，在A點，由合力提供向心力，由牛頓定律求小球過圓弧A點時對軌道的壓力；
（3）要使小球不脫離軌道，則小球可能由C點返回A點，也可能超過D點后沿DEF軌道回到A點，根據(jù)臨界條件和機械能守恒定律可求得初速度的范圍．

解答 解：（1）小球從D點以5m/s的速度水平飛出后做平拋運動，由平拋運動規(guī)律可得：
   h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
據(jù)題 h=2R+L=2×0.3m+0.2m=0.8m
代入數(shù)據(jù)解得 t=0.4s
所以落地點與D點的水平距離 x=v_Dt=5×0.4m=2m； 
（2）由A到D的過程，由機械能守恒定律可得：
   mgh+$\frac{1}{2}$mv_D²=$\frac{1}{2}$mv_A²
在A點，由牛頓第二定律可得：
   N-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$；
聯(lián)立解得 N=44N
由牛頓第三定律知，小球過圓弧A點時對軌道的壓力 N′=N=44N
（3）計論一：
小球進入軌道最高運動到C點，之后原路返回，由機械能守恒定律，有：
   mg（R+L）=$\frac{1}{2}$mv₁²
得 v₁=$\sqrt{10}$m/s
討論二：小球進入軌道后恰好能通過圓弧最高點D，之后沿DEF運動而不脫離軌道，在D點，有
   mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
其中R=0.4m
從A到D由機械能守恒定律可得：
有：mgh+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₂²
得 v₂=2$\sqrt{5}$m/s
所以要使小球在運動過程中能不脫離軌道，初速度大小的范圍為：v₁≤$\sqrt{10}$m/s或v₂≥2$\sqrt{5}$m/s
答：
（1）如果小球從D點以5m/s的速度水平飛出，落地點與D點的水平距離為2m
（2）如果小球能從D點以5m/s的速度水平飛出，小球過圓弧A點時對軌道的壓力是44N．
（3）要使小球在運動過程中能不脫離軌道，初速度大小的范圍是v₁≤$\sqrt{10}$m/s或v₂≥2$\sqrt{5}$m/s．

點評 本題考查機械能守恒定律的應用以及平拋運動規(guī)律的應用，要注意正確分析物理過程，正確進行受力分析，再通過平衡條件等選擇正確的物理規(guī)律列式求解．關鍵要注意正確選擇物理過程和規(guī)律．