2.在真空中,邊長為3L的正方形區(qū)域ABCD分成相等的三部分,左右兩側(cè)為勻強(qiáng)磁場,中間區(qū)域為勻強(qiáng)電場,如圖所示.左側(cè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1=$\frac{\sqrt{6mqU}}{2qL}$,方向垂直紙面向外;右側(cè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2=$\sqrt{\frac{6mqU}{qL}}$,方向垂直于紙面向里;中間區(qū)域電場方向與正方形區(qū)域的上下邊界平行.一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子從平行金屬板的正極板開始由靜止被加速,加速電壓為U,加速后粒子從a點進(jìn)入左側(cè)磁場,又從距正方形上下邊界等間距的b點沿與電場平行的方向進(jìn)入中間區(qū)域的電場中,不計粒子重力,求:
(1)a點到A點的距離;
(2)電場強(qiáng)度E的取值在什么范圍內(nèi)時粒子能從右側(cè)磁場的上邊緣CC1間離開;
(3)改變中間區(qū)域的電場方向和場強(qiáng)大小,粒子可從D點射出,粒子在左右兩側(cè)磁場中運動的總時間是多少.

分析 (1)根據(jù)動能定理求出粒子經(jīng)加速電場加速后的速度,結(jié)合洛倫茲力提供向心力,通過半徑公式和幾何關(guān)系求出a點到A點的距離;
(2)作出粒子在右側(cè)磁場中沿半徑為Rn和Rm的兩臨界軌道從上邊緣CC1離開磁場時的軌跡,通過半徑公式、動能定理以及幾何關(guān)系求出電場強(qiáng)度的取值范圍;
(3)作出粒子的運動軌跡,根據(jù)周期公式以及粒子在磁場中的圓心角求出粒子在左右兩側(cè)磁場中運動的總時間.

解答 解:(1)粒子在金屬板電場加速時
$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$                   ①
粒子在左側(cè)磁場中運動時,有
$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$                    ②
$sinα=\frac{L}{{R}_{1}}$                      ③
a到A點的距離
$x=\frac{3L}{2}-{R}_{1}(1-cosα)$             ④
由①~④式解得
$x=(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3})L$.

(2)如圖甲所示,粒子在右側(cè)磁場中沿半徑為Rn和Rm的兩臨界軌道從上邊緣CC1離開磁場時,有
${R}_{n}=\frac{3}{4}L$                      ⑤
Rm=L                         ⑥
又$q{v}_{n}{B}_{2}=m\frac{{{v}_{n}}^{2}}{{R}_{n}}$                      ⑦
$q{v}_{m}{B}_{2}=m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{{R}_{m}}$                       ⑧
粒子在中間電場運動時
$q{E}_{n}L=\frac{1}{2}m{{v}_{n}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$           ⑨
$q{E}_{m}L=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$         ⑩
由①⑤⑦⑧⑨⑩式解得
  ${E}_{n}=\frac{11U}{16L}$,${E}_{m}=\frac{2U}{L}$       
電場強(qiáng)度的取值范圍為
$\frac{11U}{16L}<E<\frac{2U}{L}$
(3)粒子在左右磁場運動
${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{1}}$⑪
${T}_{2}=\frac{2πm}{q{B}_{2}}$⑫
必須改變中間區(qū)域的電場方向并取定電場E的某一恰當(dāng)確定數(shù)值,粒子才能沿如圖乙所示的軌跡從D點射出.
由①~③式可得α=60°,有
$t=\frac{{T}_{1}}{3}+\frac{{T}_{2}}{2}$⑬
由⑪⑫⑬式解得
$t=\frac{7πL}{3}\sqrt{\frac{m}{6qU}}$.
答:(1)a點到A點的距離為$(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3})L$;
(2)電場強(qiáng)度E的取值在$\frac{11U}{16L}<E<\frac{2U}{L}$范圍內(nèi)時粒子能從右側(cè)磁場的上邊緣CC1間離開;
(3)粒子在左右兩側(cè)磁場中運動的總時間是$\frac{7πL}{3}\sqrt{\frac{m}{6qU}}$.

點評 本題是帶電粒子在組合場中運動的問題,解題關(guān)鍵是畫出粒子的運動軌跡,運用幾何知識,結(jié)合半徑公式和周期公式進(jìn)行求解.

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