Question

6．某行星自轉(zhuǎn)可以忽略，且表面沒有大氣層，宇航員在該行星表面附近h處自由釋放一個小球，落地時間為t，已知該行星半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該行星的第一宇宙速度；
（2）該行星的平均密度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體求得星球表面的重力加速度，再根據(jù)重力與萬有引力相等據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得行星的第一宇宙速度；
（2）根據(jù)重力與萬有引力相等求得行星的質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求得密度．

解答 解：（1）根據(jù)自由落體運動規(guī)律h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$可得星球表面的重力加速度
$g=\frac{2h}{{t}^{2}}$
在星球表面重力與萬有引力相等，據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：
$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
得星球的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$
（2）在行星表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg=m\frac{2h}{{t}^{2}}$
可得行星的質(zhì)量M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
所以行星的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3h}{2πRG{t}^{2}}$
答：（1）該行星的第一宇宙速度為$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
（2）該行星的平均密度為$\frac{3h}{2πRG{t}^{2}}$．

點評 在星球表面重力與萬有引力相等，萬有引力提供衛(wèi)星圓周運動的向心力，掌握自由落體運動規(guī)律及密度公式是正確解題的關(guān)鍵．