Question

14．一質(zhì)量為m，長為L的勻質(zhì)細桿，可繞過其一端光滑水平軸O在豎直平面內(nèi)自有轉(zhuǎn)動，桿在水平狀態(tài)由靜止開始下擺
（1）令λ_m表示細桿質(zhì)量線密度，當(dāng)桿以角速度ω繞過其一端的光滑水平O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動動能可能表示為E_k=kλ^αω^βL^γ
式中，k為待定的沒有單位的純常數(shù)，已知在同一單位制下，兩物理量當(dāng)且僅當(dāng)其數(shù)值和單位都相等時才相等，由此求出α、β和γ的值
（2）已知系統(tǒng)的動能等于系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中在質(zhì)心時隨質(zhì)心一起運動的動能和系統(tǒng)在質(zhì)心系（隨質(zhì)心運動的參考系）中的動能之和，求常數(shù)k的值；
（3）試求當(dāng)桿擺至于水平方向成θ角時在桿上O點為r處的橫截面積兩側(cè)部分的相互作用力，重力加速度大小為g
提示：如果X（t）是t的函數(shù)，而Y（X（t））對t的導(dǎo)數(shù)為$\frac{dY（t）}{dt}$=$\frac{dY（X（t））}{dX（t）}$$\frac{dX（t）}{dt}$．

Answer 1

分析 （1）（2）量綱分析是自然科學(xué)中一種重要的研究方法，它根據(jù)一切量所必須具有的形式來分析判斷事物間數(shù)量關(guān)系所遵循的一般規(guī)律．通過量綱分析可以檢查反映物理現(xiàn)象規(guī)律的方程在計量方面是否正確，甚至可提供尋找物理現(xiàn)象某些規(guī)律的線索．
（3）細桿擺到豎直位置過程中，根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒列出等式求解角速度，然后結(jié)合質(zhì)心運動定理、圓周運動的過程中的角速度與線速度的關(guān)系，代入牛頓第二定律即可求解．

解答 解：（1）由題意，轉(zhuǎn)動動能可表示為E_k=kλ^αω^βL^γ
式中，k為待定的沒有單位的純常數(shù)．
質(zhì)量m的單位是kg，長度l的單位是m，ω的單位是1rad/s=1/s，所以，λ的單位是：kg/s
結(jié)合轉(zhuǎn)動動能E_k的單位是：1J=1N•m=1kg•m²/s²，
聯(lián)立可得：α、β和γ的值分別是α=1；β=2，γ=3．
所以：E_k=kλω²L³    ①
（2）由題意，桿的動能：E_k=E_kc+E_kz②
其中：${E}_{kc}=\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}=\frac{1}{2}（λL）•（\frac{L}{2}ω）^{2}$③
注意到，桿的質(zhì)心系中的運動可視為兩根長度為$\frac{L}{2}$的桿過其公共端（即質(zhì)心）的光滑的水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，因此桿在質(zhì)心系中的動能E_kz為：
${E}_{kz}=2{E}_{k}（λ，ω，\frac{L}{2}）=2kλ{ω}^{2}（\frac{L}{2}）^{3}$④
將①③④代入②得：$kλ{ω}^{2}{L}^{3}=\frac{1}{2}λL（\frac{L}{2}•ω）^{2}+2kλ{ω}^{2}（\frac{L}{2}）^{3}$
由此解得：k=$\frac{1}{6}$
于是：E_k=$\frac{1}{6}$λω²L³    ⑤
（3）以桿和地球組成的系統(tǒng)為研究的對象，在桿向下運動的過程中機械能守恒，得：${E}_{K}=mg（\frac{L}{2}•sinθ）$   ⑥
比較⑤⑥可得：ω=$\sqrt{\frac{3gsinθ}{L}}$  ⑦
以在桿上距離O點為r處的橫截面積的外側(cè)長為（L-r）的那一段為研究的對象，該段質(zhì)量為λ（L-r），其質(zhì)心的速度為：
${v}_{r}=ω（r+\frac{L-r}{2}）=ω（\frac{L+r}{2}）$   ⑧
設(shè)另一段對該段的切向的力為T（以θ增大的方向為正方向），法向（即與橫截面積垂直的方向）力為N（以指向O點的方向為正），由質(zhì)心運動定理得：
T+λ（L-r）gcosθ=λ（L-r）•a_T；N-λ（L-r）gsinθ=λ（L-r）a_N   ⑨
式中，a_T為質(zhì)心的切向加速度的大�。�${a}_{T}=\frac{d{v}_{r}}{dt}=\frac{L+r}{2}•\frac{dω}{dt}$=$\frac{L+r}{2}•\frac{dω}{dθ}•\frac{dθ}{dt}=\frac{3（L+r）gcosθ}{4L}$
而a_N為質(zhì)心法向的加速度的大�。�${a}_{N}={ω}^{2}•\frac{L+r}{2}=\frac{3（L+r）gsinθ}{2L}$
聯(lián)立以上各式得：$T=\frac{（L-r）（3r-L）}{4{L}^{2}}mgcosθ$；$N=\frac{（L-r）（3r+5L）}{2{L}^{2}}mgsinθ$
答：（1）α、β和γ的值分別是α=1；β=2，γ=3；
（2）已知系統(tǒng)的動能等于系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中在質(zhì)心時隨質(zhì)心一起運動的動能和系統(tǒng)在質(zhì)心系（隨質(zhì)心運動的參考系）中的動能之和，常數(shù)k的值是$\frac{1}{6}$；
（3）當(dāng)桿擺至于水平方向成θ角時在桿上O點為r處的橫截面積兩側(cè)部分的相互作用力分別為：切向力$T=\frac{（L-r）（3r-L）}{4{L}^{2}}mgcosθ$；法向力$N=\frac{（L-r）（3r+5L）}{2{L}^{2}}mgsinθ$

點評 各種物理量之間存在著關(guān)系，說明它們的結(jié)構(gòu)必然由若干統(tǒng)一的基礎(chǔ)成分所組成，并按各成分的多寡形成量與量間的千差萬別，正如世間萬物僅由百余種化學(xué)元素所構(gòu)成．明確兩個系統(tǒng)機械能守恒，單個機械能不守恒．