Question

5．兩個(gè)正電荷q₁和q₂在某直角坐標(biāo)下的位矢為r₁和r₂，將一負(fù)電荷q₃置于某一位置，使作用在這三個(gè)電荷上的靜電力都等于零，求q₃的電量和位矢r₃．

Answer 1

分析 解決本題一定要把握“每個(gè)電荷都處于平衡狀態(tài)”這一特點(diǎn)進(jìn)行分析，已知兩個(gè)正電荷q₁和q₂和負(fù)電荷q₃，可以利用“兩同夾異，近小遠(yuǎn)大”（三個(gè)電荷處于平衡時(shí)兩邊電性相同和中間相反，中間電荷離電量小的近，離電量大的遠(yuǎn)）進(jìn)行判斷．三個(gè)電荷處于同一直線上，每個(gè)電荷受兩個(gè)庫(kù)侖力作用處于平衡狀態(tài)，據(jù)此列方程即可求解．$\sqrt{{（{x}_{2}-{x}_{1}）}^{2}+{（{y}_{2}-{y}_{1}）}^{2}}$

解答 解：已知兩個(gè)正電荷q₁、q₂和負(fù)電荷q₃，根據(jù)“兩同夾異，近小遠(yuǎn)大”可知q₃一定位于q₁和q₂連線的中間的某一處，
設(shè)q₁、q₂和q₃的坐標(biāo)分別為：（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
則q₃在q₁和q₂連線的中間的合場(chǎng)強(qiáng)等于0的地方，
設(shè)負(fù)電荷到q₁和q₂的距離分別是L₁和L₂，則：
${L}_{1}+{L}_{2}=\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$
由點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的公式：$E=\frac{kq}{{r}^{2}}$得：
$\frac{k{q}_{1}}{{L}_{1}^{2}}=\frac{k{q}_{2}}{{L}_{2}^{2}}$
所以：$\frac{{L}_{1}}{{L}_{2}}=\sqrt{\frac{{q}_{2}}{{q}_{1}}}$
聯(lián)立得：${L}_{1}=\frac{\sqrt{{（{x}_{2}-{x}_{1}）}^{2}+{（{y}_{2}-{y}_{1}）}^{2}}}{1+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}$
由幾何關(guān)系可得：${x}_{3}={x}_{1}+{L}_{1}•\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{\sqrt{{（{x}_{2}-{x}_{1}）}^{2}+{（{y}_{2}-{y}_{1}）}^{2}}}$=${x}_{1}+\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{1+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}$
同理：${y}_{3}={y}_{1}+\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{1+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}$
把的位置寫成矢量，代入x得到兩個(gè)解：${r}_{31}={r}_{1}+（{r}_{2}-{r}_{1}）•\frac{{q}_{1}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}$=$\frac{{q}_{2}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{1}$$+\frac{{q}_{1}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{2}$
或：${r}_{32}={r}_{1}+（{r}_{2}-{r}_{1}）•\frac{{q}_{1}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}$=$\frac{{q}_{2}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{1}+\frac{{q}_{1}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{2}$
答：q₃的電量和位矢是$\frac{{q}_{2}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{1}+\frac{{q}_{1}+\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{2}$或$\frac{{q}_{2}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{1}+\frac{{q}_{1}-\sqrt{\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}}}{{q}_{1}-{q}_{2}}•{r}_{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考察了庫(kù)侖定律在電荷平衡中的應(yīng)用，對(duì)于三個(gè)電荷平衡可以利用“兩同夾異，近小遠(yuǎn)大”的規(guī)律進(jìn)行電性判斷，本題的難點(diǎn)在于計(jì)算，學(xué)生列出方程容易，但是計(jì)算正確難．