Question

5．如圖所示，金屬板PQ，MN平行放置，金屬板長為4a，間距為4a，兩板間連接在輸出電壓為U的恒定電源兩端，上金屬板PQ中央有一小孔O，板間存在垂直紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場區(qū)域P′Q′M′N′，且OP′=OQ′=a，P′M′=Q′N′=a，現(xiàn)將一帶電小球從距上板某一高度由靜止釋放，小球從小孔O進入磁場，小球離開磁場后在平行金屬板間做直線運動恰好從下板N端射出電場，已知重力加速度為g，求：
（1）帶電小球的電荷量與質(zhì)量之比；
（2）小球從釋放到從下板N端射出所需時間．

Answer 1

分析 （1）小球離開磁場后沿直線運動，所受合外力為零，由平衡條件求出電荷量與質(zhì)量之比．
（2）小球進入磁場前做自由落體運動，在磁場中做勻速圓周運動，離開磁場后做勻速直線運動，求出各段的運動時間，然后求出總的運動時間．

解答 解：（1）小球離開磁場后受到豎直向下的重力作用與電場力作用而做直線運動，
小球速度方向與受力方向不在同一直線上，則小球做勻速直線運動，所受合外力為零，
由平衡條件得：q$\frac{U}{4a}$=mg，解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{4ag}{U}$；
（2）小球運動軌跡如圖所示：

由幾何知識可得：$\frac{r}{tanθ}+\frac{2a}{tanθ}=4a$
且rsinθ=a，
解得：r=$\sqrt{10}$a，
小球在磁場中做勻速圓周運動，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{4\sqrt{10}g{a}^{2}B}{U}$，
小球進入磁場前做自由落體運動，運動時間：t₁=$\frac{v}{g}$=$\frac{4\sqrt{10}{a}^{2}B}{U}$，
小球在磁場中做圓周運動的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{πU}{2gaB}$，
在磁場中的運動時間：t₂=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{Uarctan\frac{1}{3}}{4gaB}$，
小球離開磁場后的位移大小：s=$\sqrt{{a}^{2}+（4a-a）^{2}}$=$\sqrt{10}$a，
離開磁場后的運動時間：t₃=$\frac{s}{v}$=$\frac{U}{4gaB}$，
小球從釋放到從下板N端射出所需時：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{4\sqrt{10}{a}^{2}B}{U}$+$\frac{Uarctan\frac{1}{3}}{4gaB}$+$\frac{U}{4gaB}$；
答：（1）帶電小球的電荷量與質(zhì)量之比為$\frac{4ag}{U}$；
（2）小球從釋放到從下板N端射出所需時間為$\frac{4\sqrt{10}{a}^{2}B}{U}$+$\frac{Uarctan\frac{1}{3}}{4gaB}$+$\frac{U}{4gaB}$．

點評 本題考查了求荷質(zhì)比、運動時間，分析清楚運動過程，應用平衡條件、牛頓第二定律、運動學公式即可正確解題．