Question

9．一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里，其邊界是半徑為R的圓，AB為圓的直徑．在A點(diǎn)有一粒子源向圓平面內(nèi)（垂直于磁場(chǎng)）發(fā)射質(zhì)量m、電量-q的粒子，粒子重力不計(jì)．
（1）如圖甲所示，若粒子向圓平面內(nèi)的各個(gè)方向發(fā)射，速率均為v₁=$\frac{5qBR}{3m}$．求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．
（2）如圖乙所示，在過B點(diǎn)且垂直于AB方向放置一個(gè)很大的屏．若粒子僅沿AB連線方向持續(xù)發(fā)射，速率均為v₂=$\frac{2qBR}{m}$．與此同時(shí)，以過A點(diǎn)并垂直于紙面的直線為軸，將磁場(chǎng)順時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)90°．隨著磁場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)，粒子打到屏上的位置會(huì)發(fā)生變化．求粒子打到屏上的范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小一定，故軌道半徑一定，根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑；當(dāng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓弧最長(zhǎng)時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)；
（2）當(dāng)磁場(chǎng)在實(shí)線區(qū)域時(shí)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，得到打在熒光屏上的位置，設(shè)為C點(diǎn)；當(dāng)磁場(chǎng)在虛線區(qū)域時(shí)，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，直接打在B點(diǎn)；則BC間距即為粒子打到屏上的范圍．

解答 解：（1）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，故：
$q{v}_{1}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：${r}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{qB}=\frac{5}{3}R$
過直徑的弦對(duì)應(yīng)最長(zhǎng)時(shí)間，如圖所示：
結(jié)合幾何關(guān)系，軌跡對(duì)應(yīng)圓心角為：α=2arcsin$\frac{R}{r}$=74°
故運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為：t_max=$\frac{74°}{360°}T$=$\frac{74°}{360°}\frac{2πm}{qB}=\frac{37πm}{90qB}$
（2）粒子僅沿AB連線方向持續(xù)發(fā)射，速率均為v₂=$\frac{2qBR}{m}$，洛侖茲力提供向心力，故：
$q{v}_{2}B=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
解得：${r}_{2}=\frac{m{v}_{2}}{qB}=2R$
畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示：
θ=arctan$\frac{R}{{r}_{2}}=\frac{1}{2}$=26.6°
故α=2θ=53°
BC=Rtanα=$\frac{4}{3}R$
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為$\frac{37πm}{90qB}$；
（2）粒子打到屏上的范圍為B點(diǎn)下方$\frac{4}{3}R$的區(qū)域．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來源，根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑，再結(jié)合幾何關(guān)系列式分析，不難．