Question

12．據(jù)國外媒體報道，近日．科學(xué)家宣布：在太陽系外發(fā)現(xiàn)一顆名叫賽德納（SEDNA）的行星，該星球擁有和地球差不多的體積和質(zhì)量，天文學(xué)家認(rèn)為賽德納有可能擁有外星生命，就好像是地球的姊妹一樣，讓地球在宇宙中不再孤獨，假如科學(xué)家們在賽德納（SEDNA）行昆表面上以速度v₀水平拋出一小球，測得小球拋出點離地面高度為h，小球落地點距拋出點 水平距離為x，已知賽德納（SEDNA）行星的半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）賽德納（SEDNA）行星的質(zhì)量M；
（2）人們要想在賽德納（SEDNA）行星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，需要的最小發(fā)射速度為多大？

Answer 1

分析 （1）運用平拋運動規(guī)律求出星球表面重力加速度．忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式求解行星的質(zhì)量M．
（2）最小發(fā)射速度即為該行星的第一宇宙速度，由重力等于向心力求解．

解答 解：（1）小球做平拋運動，
在水平方向有：x=v₀t，
在豎直方向有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得該星球表面的重力加速度為：g=$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{x}^{2}}$ 
設(shè)在該星球地面上的物體質(zhì)量為m，
由萬有引力等于物體的重力得：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
所以該星球的質(zhì)量為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{{Gx}^{2}}$．
（2）設(shè)有一顆質(zhì)量為m的近地衛(wèi)星繞星球作勻速圓周運動，速率為v，
由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得該星球的第一宇宙速度為：v=$\sqrt{gR}$=$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2hR}$
即要想在賽德納（SEDNA）行星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，需要的最小發(fā)射速度為$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2hR}$．
答：
（1）賽德納（SEDNA）行星的質(zhì)量M為$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{{Gx}^{2}}$；
（2）要想在賽德納（SEDNA）行星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，需要的最小發(fā)射速度為$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2hR}$．

點評 重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯(lián)系的物理量，要知道忽略星球自轉(zhuǎn)時重力等于萬有引力．