Question

15．如圖所示，水平地面上固定一絕緣光滑長(zhǎng)方體abcd-a′b′c′d′，長(zhǎng)ab為15m，寬ad為10m，高aa′為5m，MN、PQ與ad相互平行，且aN、NQ、Qb間距離都為5m．一個(gè)半徑為R=5m的$\frac{1}{4}$圓弧的光滑絕緣軌道被豎直固定，圓弧軌道的最高點(diǎn)E與它的圓心O在同一水平線上，M為該裝置與cd的切點(diǎn)，區(qū)域MNQP、PQbc存在豎直方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B₁=1T和B₂=2T，方向相反，邊界MN、PQ處無(wú)磁場(chǎng)．從E點(diǎn)靜止釋放一質(zhì)量m₁=0.1kg，帶正電荷q=0.1C的小球．g=10m/s²．求：
（1）小球剛到達(dá)M點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧管道的壓力大��；
（2）小球從E點(diǎn)靜止釋放后由M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到落地的時(shí)間t；（π≈3）
（3）若在b′處有一靜止的小滑塊，其質(zhì)量為m₂=0.01kg，與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)?=0.9．當(dāng)小球剛過(guò)M時(shí)，對(duì)小滑塊施加一水平恒力F，作用一段時(shí)間后撤去該恒力，使之在小球剛落地時(shí)兩者$\underset{恰}{•}$$\underset{好}{•}$相遇，此時(shí)小滑塊的速度也剛好減小到零．求恒力F的大小？（$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{2.5}$≈$\sqrt{2.6}$≈1.6）

Answer 1

分析 （1）小球從E到M的過(guò)程，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球到M點(diǎn)時(shí)的速度，結(jié)合牛頓第二定律與向心力表達(dá)式，及牛頓第三定律，即可求解；
（2）根據(jù)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合半徑公式，及平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并由幾何關(guān)系，即可求解．
（3）滑塊先做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)，作出v-t圖象，求出最大速度，再由速度關(guān)系求解F的大�。�

解答 解：（1）小球從釋放到M點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒有：
m₁gR=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v=10m/s
在M點(diǎn)，由牛頓第二定律有：
F-m₁g=m₁$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F=3N
根據(jù)牛頓第三定律，小球到達(dá)M點(diǎn)時(shí)對(duì)管道的壓力為3N．
（2）①小球的運(yùn)動(dòng)情況如圖所示，
設(shè)其在B₁中的運(yùn)動(dòng)半徑為R₁，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁．有：B₁qv=m₁$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
代入數(shù)據(jù)解得：R₁=10m
由圖可知，小球在B₁中做圓運(yùn)動(dòng)的圓心角為30°
所以 t₁=$\frac{\frac{π}{6}{R}_{1}}{v}$=$\frac{π}{6}$≈0.5s
②設(shè)小球在B₂中的運(yùn)動(dòng)半徑為R₂，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂．有：B₂qv=m₂$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
解代入數(shù)據(jù)得：R₂=5m
小球在B₂中做圓運(yùn)動(dòng)的圓心角為60°
所以t₂=$\frac{\frac{π}{3}{R}_{2}}{v}$=$\frac{π}{6}$≈0.5s
③小球離開B₂區(qū)域后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃．則有：h_bb′=$\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}$
解得：t₃=1s
所以，小球從M點(diǎn)到落地的時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃≈2s
（3）①小球做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為：x₁=vt₃=10m
根據(jù)題意，小滑塊的運(yùn)動(dòng)是先勻加速再勻減速，其位置關(guān)系如圖所示．

由圖可知小滑塊的總位移 x=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}cos120°}$
其中 x₂=R₁cos30°=5$\sqrt{3}$m
解得 x=$\sqrt{175+50\sqrt{3}}$m≈$\sqrt{260}$m≈16m
②小滑塊的v-t圖象形狀如右下圖所示，設(shè)小滑
塊加速階段的時(shí)間為t₀，最大速度為v_m，則

由位移關(guān)系有 x=$\frac{1}{2}{v}_{m}t$
速度關(guān)系有  v_m=$\frac{F-μ{m}_{2}g}{{m}_{2}}$t₀=$\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{2}}$（t-t₀）
解得v_m=16m/s，t₀=$\frac{2}{9}$s，作用力F=0.81N．
答：（1）小球剛到達(dá)M點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧管道的壓力大小是3N．
（2）小球從M點(diǎn)到落地的時(shí)間t是2s．
（3）恒力F的大小為0.81N．

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜磁場(chǎng)與力學(xué)綜合題，要按時(shí)間順序正確分析小球的運(yùn)動(dòng)情況，對(duì)于磁場(chǎng)，關(guān)鍵定圓心，找半徑，對(duì)于相遇問(wèn)題，關(guān)鍵要找兩個(gè)物體之間的關(guān)系．