Question

4．如圖所示，宇航員在地球表面完成以下實(shí)驗(yàn)：在固定的豎直光滑圓弧軌道內(nèi)部的最低點(diǎn)，給質(zhì)量為m的小球水平初速度v，小球恰能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，而宇航員在某星球表面重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)小球只能上升至圓心等高處．已知該星球半徑為地球半徑的2倍，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，可求得該星球和地球的密度之比為（　�。�

• A． 5：4
• B． 4：5
• C． 5：1
• D． 1：5

Answer 1

分析 在地球表面，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出求出地球表面的重力加速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出星球表面的重力加速度，從而得出重力加速度的比值．根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得出星球質(zhì)量的表達(dá)式，結(jié)合密度公式求出星球密度的表達(dá)式，抓住重力加速度和星球半徑之比求出密度之比．

解答 解：在地球表面，小球恰能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)有：$m{g}_{1}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$，解得${v}_{1}=\sqrt{{g}_{1}r}$．
根據(jù)動(dòng)能定理得，$m{g}_{1}•2r=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，解得g₁=$\frac{{v}^{2}}{5r}$．
在星球的表面，小球只能上升至圓心等高處，根據(jù)動(dòng)能定理得，$m{g}_{2}r=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得${g}_{2}=\frac{{v}^{2}}{2r}$，
則$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{2}{5}$，
根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，則密度$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$，
因?yàn)樾乔虮砻娴闹亓�加速度與地球表面重力加速度的比值為5：2，半徑之比為2：1，則密度之比為5：4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律的綜合運(yùn)用，通過(guò)牛頓第二定律和動(dòng)能定理求出星球和地球表面的重力加速度之比是解決本題的關(guān)鍵．