Question

15．如圖所示，在轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上，沿半徑方向放置兩個(gè)用細(xì)線相連的質(zhì)量均為m=1kg的小物體A、B，它們到轉(zhuǎn)軸距離分別為r_A=20cm，r_B=30cm．A、B與盤面間的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍，試求：
（1）當(dāng)細(xì)線上開始出現(xiàn)張力時(shí)，圓盤的角速度ω₀；
（2）當(dāng)A剛要滑動(dòng)瞬間，圓盤的角速度ω；
（3）當(dāng)圓盤的角速度從（1）所求得的ω₀開始緩慢增大，直到A剛要滑動(dòng)瞬間，求此過程中摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）由題意可知B與盤間已達(dá)的最大靜摩擦力，故靜摩擦力充當(dāng)向心力，由向心力公式可求得角速度；
（2）A開始滑動(dòng)時(shí)，說明A已達(dá)到最大靜摩擦力，由向心力公式可求得角速度；
（3）依據(jù)動(dòng)能定理可計(jì)算功．

解答 解：（1）當(dāng)輕桿開始出現(xiàn)彈力時(shí)，表明B與盤間的靜摩擦力已達(dá)最大，則：
  0.4mg=mω₀²r_B
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{0.4g}{{r}_{B}}}=\sqrt{\frac{0.4×10}{0.3}}$=3.61rad/s．
（2）當(dāng)A開始滑動(dòng)時(shí)，表明A與盤間的靜摩擦力也已達(dá)最大，則：
對(duì)A：0.4mg-F_T=mω²r_A
對(duì)B：F_T+0.8mg=mω²r_B
由以上兩式聯(lián)并代入數(shù)據(jù)解得：F_T=0.8N
則當(dāng)A、B開始滑動(dòng)時(shí)，輕桿對(duì)A的彈力大小為0.8N，方向遠(yuǎn)離圓心，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度：
ω=$\sqrt{\frac{0.4mg-{F}_{T}}{m{r}_{A}}}=\sqrt{\frac{0.4×10-0.8}{1×0.2}}$=4rad/s．．
A開始滑動(dòng)時(shí)圓盤的角速度為4rad/s．
（3）摩擦力做功使得系統(tǒng)動(dòng)能增加，由此可得：
$W=\frac{1}{2}{m}_{A}（{r}_{A}ω）^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{（{r}_{B}ω）}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{A}{（{r}_{A}{ω}_{0}）}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{B}{（{r}_{B}{ω}_{0}）}^{2}$=0.02J．
答：（1）當(dāng)細(xì)線上開始出現(xiàn)張力時(shí)，圓盤的角速度3.61rad/s．
（2）當(dāng)A剛要滑動(dòng)瞬間，圓盤的角速度4rad/s；
（3）當(dāng)圓盤的角速度從（1）所求得的ω₀開始緩慢增大，直到A剛要滑動(dòng)瞬間，求此過程中摩擦力所做的功0.02J．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓周運(yùn)動(dòng)中力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，注意本題中為靜摩擦力與繩子的拉力充當(dāng)向心力，故應(yīng)注意靜摩擦力是否已達(dá)到最大靜摩擦力．