Question

14．如圖所示，傾斜傳送帶與水平方向的夾角為θ=30°，將一小物塊輕輕放在正在以速度v=15m/s勻速逆時針傳動的傳送帶的上端，傳送帶兩皮帶輪軸心間的距離為L=50m，g=10m/s²物塊和傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為?=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力的大小，求
（1）將物塊從頂部傳到傳送帶底部所需的時間為多少？
（2）若?=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，將物塊從頂部傳到傳送帶底部所需的時間又為多少？

Answer 1

分析 對木塊進(jìn)行受力分析，開始時，受到重力、支持力、滑動摩擦力，處于加速階段；當(dāng)速度等于傳送帶速度時，根據(jù)重力的下滑分力與最大靜摩擦力的關(guān)系，分析木塊能否勻速下滑，否則，繼續(xù)加速．根據(jù)位移公式求解時間

解答 解：（1）木塊放上后受到沿斜面向下的滑動摩擦力作用，一定先向下做勻加速直線運(yùn)動．
設(shè)經(jīng)過時間t₁，木塊的速度與傳送帶相同，勻加速運(yùn)動的加速度大小為a₁，則根據(jù)牛頓第二定律得：
  mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，可得 a₁=g（sinθ+μcosθ）=10×（sin30°+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×cos30°）=12.5m/s²
由 v₀=a₁t₁ 得 t₁=1.2s
此過程通過的位移大小為 x₁=$\frac{0+{v}_{0}}{2}{t}_{1}$=$\frac{15}{2}×1.2m=9m$＜L．
由于tanθ=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜μ．故木塊速度大小等于傳送帶速度大小后，木塊將勻速向下運(yùn)動，受到的滑動摩擦力沿斜面向上．
設(shè)勻速運(yùn)動的時間為t₂，則${t}_{2}=\frac{L-{x}_{1}}{{v}_{0}}=\frac{50-9}{15}s=2.7s$
故經(jīng)歷的總時間為t_總=t₁+t₂=3.9s
（2）由于tanθ=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{6}$＞μ．故木塊速度大小等于傳送帶速度大小后，木塊將勻速向下運(yùn)動，受到的滑動摩擦力沿斜面向上．
設(shè)木塊接著做勻加速運(yùn)動的加速度為a₂，運(yùn)動的時間為t₃，則
  mgsinθ-μmgcosθ=ma₂，可得 a₂=g（sinθ-μcosθ）=10×（sin30°-$\frac{\sqrt{3}}{6}$×cos30°）=2.5m/s²
由L-x₁=v₀t₃+$\frac{1}{2}{{a}_{2}t}_{3}^{2}$，代入得：
 50-9=15t₃+${\frac{5}{4}t}_{3}^{2}$
解得 t₂=2.3s．故木塊從A到B的運(yùn)動時間是t=t₁+t₃=3.5s．
答：（1）將物塊從頂部傳到傳送帶底部所需的時間為3.9s
（2）若?=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，將物塊從頂部傳到傳送帶底部所需的時間又為3.5s

點評 本題關(guān)鍵是分析加速到速度等于傳送帶速度后木塊的運(yùn)動情況，再根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式求解時間