Question

20．如圖，一光滑水平桌面AB與一半徑為R的光滑半圓形軌道相切于C點(diǎn)，且兩者固定不動(dòng)．一長L為0.8m的細(xì)繩，一端固定于O點(diǎn)，另一端系一個(gè)質(zhì)量m₁為0.2kg的球．當(dāng)球在豎直方向靜止時(shí)，球?qū)λ�平桌面的作用力剛好為零．現(xiàn)將球提起使細(xì)繩處于水平位置時(shí)無初速釋放．當(dāng)球m₁擺至最低點(diǎn)時(shí)，恰與放在桌面上的質(zhì)量m₂為0.8kg的小鐵球正碰，碰后m₁小球以2m/s的速度彈回，m₂將沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，恰好能通過最高點(diǎn)D．g=10m/s²，求：
（1）m₂在圓形軌道最低點(diǎn)C的速度為多大？
（2）光滑圓形軌道半徑R應(yīng)為多大？

Answer 1

分析 （1）球m₁擺至最低點(diǎn)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出到最低點(diǎn)時(shí)的速度，碰撞過程，根據(jù)動(dòng)量守恒列式求碰后m₂的速度．
（2）m₂沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出m₂在D點(diǎn)的速度．恰好能通過最高點(diǎn)D時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律可求出R．

解答 解：（1）設(shè)球m₁擺至最低點(diǎn)時(shí)速度為v₀，由小球（包括地球）機(jī)械能守恒：
m₁gL=$\frac{1}{2}$m₁${v}_{0}^{2}$
得：v₀=$\sqrt{2gL}$=$\sqrt{2×10×0.8}$m/s=4m/s
m₁與m₂碰撞，動(dòng)量守恒，設(shè)m₁、m₂碰后的速度分別為v₁、v₂．選向右的方向?yàn)檎�方向，根�?jù)動(dòng)量守恒定律則：
 m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
代入數(shù)值解得：v₂=1.5 m/s                             
（2）m₂在CD軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由機(jī)械能守恒有：
 $\frac{1}{2}$m₂${v}_{2}^{2}$=m₂g（2R）+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}$…①
由小球恰好通過最高點(diǎn)D點(diǎn)可知，重力提供向心力，即：
m₂g=m₂$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$…②
由①②解得：R=$\frac{{v}_{2}^{2}}{5g}$=$\frac{1．{5}^{2}}{50}$m=0.045m
答：（1）m₂在圓形軌道最低點(diǎn)C的速度為1.5m/s．
（2）光滑圓形軌道半徑R應(yīng)為0.045m．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒定律、向心力公式的應(yīng)用，要知道小球恰好通過最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力．