Question

8．如圖所示，質(zhì)量為m的小球從A點由靜止開始，沿豎直平面內(nèi)固定光滑的$\frac{1}{4}$圓弧軌道AB滑下，從B端水平飛出，恰好落到斜面BC的底端．已知$\frac{1}{4}$圓弧軌道的半徑為R，OA為水平半徑，斜面傾角為θ，重力加速度為g．則（　　）

• A． 小球下滑到B點時對圓弧軌道的壓力大小為2mg
• B． 小球下滑到B點時的速度大小為$\sqrt{2gR}$
• C． 小球落到斜面底端時的速度方向與水平方向的夾角為2θ
• D． 斜面的高度為4Rtan²θ

Answer 1

分析 小球在光滑圓弧軌道上運動時，軌道的支持力不做功，只有重力做功，其機械能守恒．根據(jù)機械能守恒定律列式即可求解小球下滑到B點時的速度；小球經(jīng)過B點時，由軌道的支持力和重力的合力提供向心力，由牛頓第二、第三定律求解小球?qū)�軌道的壓力．小球離開B點后做平拋運動，落在C點時，豎直位移與水平位移之比等于tanθ，由此求出平拋時間，再求斜面的高度．

解答 解：AB、設(shè)小球通過B點時的速度大小為v，小球在光滑圓弧軌道上運動過程，由機械能守恒定律有：
   $\frac{1}{2}$mv²=mgR，得：v=$\sqrt{2gR}$
小球通過B點時，由牛頓第二定律有：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，則得軌道的支持力為：F=3mg          
根據(jù)牛頓第三定律，知在B點小球?qū)�軌道的壓力大小為：F′=F=3mg．故A錯誤，B正確．
C、設(shè)小球從B運動到C的時間為t．則有 tanθ=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{vt}$=$\frac{gt}{2v}$，得 t=$\frac{2vtanθ}{g}$
小球落到斜面底端時的速度方向與水平方向的夾角正切為 tanα=$\frac{gt}{v}$=2tanθ，則α≠2θ，故C錯誤．
D、斜面的高度為 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}g（\frac{2tanθ\sqrt{2gR}}{g}）^{2}$=4Rtan²θ，故D正確．
故選：BD

點評 本題AB兩項的結(jié)果可在理解的基礎(chǔ)上記住，這個結(jié)論經(jīng)常用到．對于平拋運動，要熟練運用運動的分解法研究，要注意挖掘隱含的條件：小球落在C點時，豎直位移與水平位移之比等于tanθ．