Question

9．要計(jì)算地球的質(zhì)量，除已知的一些常數(shù)外還需知道某些數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出下列各組數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出地球質(zhì)量的是（　　）

• A． 已知地球半徑R
• B． 已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和線速度v
• C． 已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v和周期T
• D． 已知地球公轉(zhuǎn)的周期T′及運(yùn)轉(zhuǎn)半徑r′

Answer 1

分析 要求解地球的質(zhì)量，有兩種途徑，一種是根據(jù)地球表面重力等于萬(wàn)有引力，另一種途徑是根據(jù)衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供向心力列方程求解

解答 解：A、根據(jù)$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，僅知道地球的半徑，無(wú)法求地球的質(zhì)量，故A錯(cuò)誤；
B、衛(wèi)星繞地球做勻速周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得地球質(zhì)量$M=\frac{{v}_{\;}^{2}r}{G}$，故已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和線速度v，可以計(jì)算出地球質(zhì)量，故B正確；
C、根據(jù)$v=\frac{2πr}{T}$得$r=\frac{vT}{2π}$，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，解得$M=\frac{{v}_{\;}^{2}r}{G}=\frac{{v}_{\;}^{2}vT}{2πG}=\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$，故已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v和周期T可以計(jì)算地球的質(zhì)量，故C正確；
D、地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，中心天體是太陽(yáng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力只能求太陽(yáng)的質(zhì)量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r′}_{\;}^{3}}{GT{′}_{\;}^{2}}$，故已知地球公轉(zhuǎn)的周期T′及運(yùn)轉(zhuǎn)半徑r′不可以計(jì)算地球的質(zhì)量，故D錯(cuò)誤；
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確求解地球的質(zhì)量的兩種途徑，當(dāng)?shù)厍蜃鳛橹行奶祗w時(shí)，可以根據(jù)衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供向心力列方程求解地球的質(zhì)量．