Question

5．天體表面上物體擺脫該天體萬有引力的束縛飛向宇宙空間所需的最小值速度稱為逃逸速度，已知物體在地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v₂=$\sqrt{\frac{2G{M}_{E}}{{R}_{E}}}$，其中G、M_E、R_E、分別是引力常量、地球的質量和半徑，已知G=6.67×10^-11Nm²/kg²，光速c=2.9979×10⁸m/s．
（1）逃逸速度大于真空中光速的天體叫做黑洞，設某黑洞的質量等于太陽的質量M=1.98×10³⁰kg，它的最大半徑（這個半徑叫做Schwarzchild半徑）可能是多少？
（2）在目前天文觀測范圍內，物質的平均密度為10^-27kg/m³，如果認為宇宙是這樣一個均勻的大球體，其密度使得它的逃逸速度大于真空中的速度c，因此任何物體都不能脫離宇宙，問宇宙的半徑至少是多大？（用光年表示，1光年=9.46×10¹⁵m）

Answer 1

分析 （1）任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應大于光速，根據(jù)$c≤\sqrt{\frac{2GM}{R}}$即可求解；
（2）根據(jù)質量與密度的關系先求出質量，根據(jù)（1）的分析即可求解．

解答 解：（1）由題目所提供的信息可知，任何天體均存在其所對應的逃逸速${v}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，其中M、R為天體的質量和半徑．對于黑洞模型來說，其逃逸速度大于真空中的光速，即${v}_{2}^{\;}＞c$，所以$R＜\frac{2GM}{{c}_{\;}^{2}}$=$\frac{2×6.67×1{0}_{\;}^{-11}×1.98×1{0}_{\;}^{30}}{（2.9979×1{0}_{\;}^{8}）_{\;}^{2}}=2.94×1{0}_{\;}^{3}$m
故最大半徑為$2.94×1{0}_{\;}^{3}m$
（2）$M=ρ•\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，其中R為宇宙的半徑，ρ為宇宙的密度，
則宇宙所對應的逃逸速度為${v}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，則$R＞\sqrt{\frac{3{c}_{\;}^{2}}{8πρG}}$=$4.01×1{0}_{\;}^{26}m$
合$4.24×1{0}_{\;}^{10}$光年，即宇宙的半徑至少為$4.24×1{0}_{\;}^{10}$光年．
答：（1）它的可能最大半徑為$2.94×1{0}_{\;}^{3}m$
（2）宇宙的半徑至少為$4.24×1{0}_{\;}^{10}$光年．

點評 本題考查了萬有引力定律定律及圓周運動向心力公式的直接應用，要注意任何物體（包括光子）都不能脫離黑洞的束縛，那么黑洞表面脫離的速度應大于光速．