Question

8．如圖所示，兩根相距為L(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌豎直放置，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)、電阻為R的金屬棒兩端與導(dǎo)軌相連，且保持良好接觸，棒與導(dǎo)軌的接觸電阻不計(jì)．導(dǎo)軌下端連有阻值為2R的電阻和電流傳感器，電流傳感器與計(jì)算機(jī)相連，且其電阻忽略不計(jì)．豎直面分布著寬度、間距均為a的120段水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)．金屬棒初始位于OO′處，與第1磁場(chǎng)區(qū)域相距2a，金屬棒由靜止開(kāi)始釋放．（重力加速度為g）
（1）為使金屬棒均能勻速通過(guò)每段勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，求剛進(jìn)入第1磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度v₁大小和該區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁大小；
（2）在滿足（1）情況下，求第120磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁₂₀大小和整個(gè)過(guò)程中金屬棒上產(chǎn)生的熱量Q；
（3）現(xiàn)使120段磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度均相同，當(dāng)金屬棒穿過(guò)各段磁場(chǎng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)顯示出的電流I隨時(shí)間t以固定的周期做周期性變化，求金屬棒從第120磁場(chǎng)區(qū)域穿出時(shí)的速度大小及整個(gè)過(guò)程產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，求解速度的大��；再由安培力等于重力，即可求解；
（2）再次根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，與安培力等于重力的平衡方程，并結(jié)合功能關(guān)系，即可求解；
（3）由電流的周期性，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，并依據(jù)功能關(guān)系，即可求解．

解答 解：（1）設(shè)金屬棒到達(dá)第1磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度大小為v₁，
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知：${v}_{1}^{2}$=2g•2a 
得到：v₁=2$\sqrt{ga}$
由于勻速進(jìn)入第1磁場(chǎng)區(qū)域，所以$\frac{{B}_{1}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3R}$=mg
聯(lián)立可以得到：B₁=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{3mR}{2}\sqrt{\frac{g}{a}}}$
（2）由于每次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)都是勻速通過(guò)的，所以根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知
第120個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度為${v}_{120}^{\;}2$=2g×121a
求得：v₁₂₀=$\sqrt{242ga}$
再由勻速通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域可知$\frac{{B}_{120}^{2}{L}^{2}{v}_{120}}{3R}$=mg
得到：B₁₂₀=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{3mgR}{\sqrt{242ga}}}$
由能量關(guān)系：產(chǎn)生的總熱量Q_總=mg•120a 
所以金屬棒上產(chǎn)生的熱量為Q=40mga；
（3）由電流的周期性分析可知，從第120段磁場(chǎng)穿出的速度為v等于從OO′運(yùn)動(dòng)a位移時(shí)，
其的速度v²=2ga；
解得：v=$\sqrt{2ga}$；
由于電流具有周期性，所以每個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域產(chǎn)生的熱量是一樣的．  
出某個(gè)磁場(chǎng)的速度就是離該磁場(chǎng)上邊界距離為a的速度，
由能量關(guān)系可知，每次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)產(chǎn)生熱量Q=2mga；
所以總共產(chǎn)生熱量為Q_總=120Q=240mga；
答：（1）剛進(jìn)入第1磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度v₁大小2$\sqrt{ga}$ 和該區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁大小$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{3mR}{2}\sqrt{\frac{g}{a}}}$；
（2）第120磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁₂₀大小$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{3mgR}{\sqrt{242ga}}}$ 和整個(gè)過(guò)程中金屬棒上產(chǎn)生的熱量40mga；
（3）金屬棒從第120磁場(chǎng)區(qū)域穿出時(shí)的速度大小$\sqrt{2ga}$及整個(gè)過(guò)程產(chǎn)生的熱量240mga．

點(diǎn)評(píng) 考查運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的應(yīng)用，掌握安培力大小表達(dá)式的內(nèi)容，理解功能關(guān)系的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意表達(dá)式符號(hào)運(yùn)算的正確性．