Question

3．如圖所示，間距為d的光滑平行金屬導軌傾斜地固定，與水平面之間的夾角為θ，在導軌的頂端連接一阻值為2R的定值電阻．導軌處于垂直導軌平面向上的勻強磁場中，磁感應強度大小為B，兩質量均為m、阻值均為R的導體棒甲和乙放置在導軌底端，其中導體棒甲的下端有一垂直導軌放置的光滑擋板．在導體棒乙上加一平行導軌向上的外力F，使導體棒乙由靜止開始沿導軌向上做勻加速直線運動，其加速度大小為a，整個過程中，導體棒甲、乙始終與導軌垂直，且與導軌接觸良好，忽略導軌的電阻，重力加速度用g表示．
（1）如果從導體棒乙開始運動計時，則需要多長時間導體棒甲對底端擋板的作用力為零？
（2）當導體甲與擋板之間的作用力為零時，定值電阻消耗的電功率是多少？
（3）請寫出導體棒乙開始運動到導體到導體棒甲與擋板之間作用力為零的過程中外力F時間t的關系式．

Answer 1

分析 （1）導體棒甲對底端擋板的作用力為零時，安培力等于重力平行斜面的分力，根據平衡條件得到安培力；根據安培力公式得到通過甲的電流；
導體乙相當于電源，甲和電阻2R是并聯關系；
導體棒乙做勻加速直線運動，根據速度時間關系公式列式求解時間；
（2）在第（1）問中，已經求解出了電流，根據P=I²R求解定值電阻消耗的電功率；
（3）導體棒乙受重力、支持力、拉力和安培力，根據牛頓第二定律、安培力公式、切割公式和歐姆定律公式列式求解拉力的表達式即可．

解答 解：（1）導體棒甲對底端擋板的作用力為零時刻，根據平衡條件，有：mgsinθ=BI₁L，解得：I₁=$\frac{mgsinθ}{BL}$；
故流過2R的電流為：I₂=$\frac{1}{2}{I}_{1}$=$\frac{mgsinθ}{2BL}$，
故干路電流I=I₁+I₂=$\frac{3mgsinθ}{2BL}$，
故電動勢：E=I₁R+IR=$\frac{5mgRsinθ}{2BL}$；
根據E=BLv=BLat，解得：t=$\frac{5mgRsinθ}{{2{B^2}{L^2}a}}$；
（2）當導體甲與擋板之間的作用力為零時，定值電阻消耗的電功率：P=$I_2^2•2R={（\frac{mgsinθ}{2BL}）^2}×2R=\frac{{{m^2}{g^2}Rsi{n^2}θ}}{{2{B^2}{L^2}}}$；
（3）對導體棒甲，根據切割公式，有：B=BLv=BLat，
根據安培力公式，有：F_A=BIL=B$\frac{BLat}{R+\frac{R•2R}{R+2R}}$L=$\frac{3{B}^{2}{L}^{2}at}{5R}$；
根據牛頓第二定律，有：F-F_A-mgsinθ=ma，
解得：F=$\frac{{3{B^2}{L^2}at}}{5R}+m（gsinθ+a）$；
答：（1）如果從導體棒乙開始運動計時，則需要$\frac{5mgRsinθ}{2{B}^{2}{L}^{2}a}$長時間導體棒甲對底端擋板的作用力為零；
（2）當導體甲與擋板之間的作用力為零時，定值電阻消耗的電功率是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}{2{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）導體棒乙開始運動到導體到導體棒甲與擋板之間作用力為零的過程中外力F時間t的關系式為F=$\frac{{3{B^2}{L^2}at}}{5R}+m（gsinθ+a）$．

點評 本題是力電綜合問題，關鍵是明確電路結構，知道導體棒的受力情況和運動情況，根據牛頓第二定律、切割公式、安培力公式等列式分析．