Question

1．如圖所示，用輕繩將大小相同、質量不等的N個小球并列懸掛于一水平桿上，球間有微小間隔，從左到右，球的編號依次為1、2、3 …N，球的質量依次遞減，每球質量與其相鄰左側球的質量之比為k（k＜1）．將1號球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號球碰撞，2號球再與3號球碰撞 …所有碰撞均為無機械能損失的正碰．（不計空氣阻力）
（i）求n號球與n+1號球碰撞后的速率之比；
（ii）若N=5，k=$\sqrt{2}$-1，在1號球向左拉高h（遠小于繩長）的情況下，問5號球碰撞后上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律求出n號球與n+1號球碰撞后的速率之比；
（2）根據(jù)動能定理，以及碰后n+1號球與碰前號球的速度關系得出通項表達式，結合動能定理求出5號球碰撞后上升的最大高度．

解答 解：（i）規(guī)定向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律得，m_nv_n=m_nv_n′+km_nv_n+1′，
根據(jù)能量守恒得，$\frac{1}{2}{m}_{n}{{v}_{n}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{n}{v}_{n}{′}^{2}+\frac{1}{2}k{m}_{n}{v}_{n+1}{′}^{2}$，
聯(lián)立解得$\frac{{v}_{n}′}{{v}_{n+1}′}=\frac{1-k}{2}$．
$\frac{{v}_{n+1}′}{{v}_{n}}=\frac{2}{k+1}$
（ii）根據(jù)動能定理得，${m}_{1}gh=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$，
 根據(jù)歸納法知，${v}_{5}′=（\frac{2}{1+k}）^{4}{v}_{1}$，
根據(jù)動能定理有：${m}_{5}gh′=\frac{1}{2}{m}_{5}{v}_{5}{′}^{2}$，
解得h′=16h．
答：（i）n號球與n+1號球碰撞后的速率之比為$\frac{1-k}{2}$；（ii）5號球碰撞后上升的最大高度為16h．

點評 本題是利用動量守恒和機械能守恒聯(lián)合解決一維碰撞問題的典型例子，其中由1號球的速度歸納第n+1號球的速度是關鍵，而且也是難點．