Question

4．光滑水平面上，一個(gè)長平板與半圓組成如圖甲所示的裝置，半圓弧面（直徑AB豎直）與平板表面相切于A點(diǎn)，整個(gè)裝置質(zhì)量M=5kg．在裝置的右端放一質(zhì)量為m=1kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），小滑塊與裝置一起以v₀=8m/s的速度向左運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)給裝置加一個(gè)F=43N向右的水平推力，小滑塊與長平板發(fā)生相對滑動(dòng)，裝置運(yùn)動(dòng)的v-t圖如圖乙所示．當(dāng)裝置速度減速為零時(shí)，小滑塊恰好滑至長平板的左端A，此時(shí)撤去外力F并將裝置鎖定，小滑塊繼續(xù)沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，恰好能通過軌道最高點(diǎn)B．滑塊脫離半圓形軌道后又落回長平板．已知小滑塊在通過半圓形軌道時(shí)克服摩擦力做功W_f=2.5J．g取10m/s²．求：

（1）小滑塊與長平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）長平板的長度L；
（3）小滑塊最后落回長平板上的落點(diǎn)離A的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象求的裝置的加速度大小，根據(jù)牛頓第二定律求的摩擦力，由f=μF_N求的摩擦因數(shù)
（2）根據(jù)牛頓第二定律求的物塊的加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求的裝置和物塊的位移，即可求得裝置的長度；
（3）從A到B根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律求的圓弧的半徑和B點(diǎn)的速度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)求的水平距離

解答 解：（1）由圖乙，裝置向左減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小a_M=$\frac{△v}{△t}$=8m/s² …①
裝置減速過程水平方向受力如圖所示：
由牛頓第二定律：F-f=M a_M…②
滑塊與平板間的滑動(dòng)摩擦力f=μmg  …③
①～③聯(lián)立，得：μ=0.3  
（2）由圖乙，裝置向左運(yùn)動(dòng)的位移S_M=4m …④
設(shè)這段時(shí)間內(nèi)滑塊的加速度大小為a_m，由牛頓第二定律，f=m a_m…⑤
滑塊運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度v_A=v₀-a_mt₁ …⑥
解得：v_A=5m/s
滑塊向左運(yùn)動(dòng)的位移S_m=$\frac{{{v_0}+{v_A}}}{2}•{t_1}$…⑦
解得：S_m=6.5m
平板的長度L=S_m-S_M …⑧
③⑤⑥⑦⑧聯(lián)立，解得：L=2.5m 
（3）設(shè)滑塊在B點(diǎn)的速度大小為v_B，半圓弧面的半徑為R，從A至B，由動(dòng)能定理得：$-mg•2R-{W_f}=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2$…⑨
在B點(diǎn)，有：$mg=m\frac{v_B^2}{R}$…⑩
解得：R=0.4m，v_B=2m/s
設(shè)滑塊從B點(diǎn)飛出做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，有$2R=\frac{1}{2}gt_2^2$…⑪
解得：t₂=0.4s
滑塊落點(diǎn)離A的距離x=v_B t₂…⑫
⑥⑧⑨⑩⑪聯(lián)立，代入數(shù)據(jù)得：x=0.8m
答：（1）小滑塊與長平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.3；
（2）長平板的長度L為2.5m；
（3）小滑塊最后落回長平板上的落點(diǎn)離A的距離為0.8m．

點(diǎn)評 弄清問題的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況是解題的關(guān)鍵，靈活利用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解是解題的核心，此題綜合性較強(qiáng)