Question

【題目】(1)科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，除了類似太陽系的恒星-行星系統(tǒng)，還存在許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙有了較深刻的認(rèn)識。雙星系統(tǒng)是由兩個星體構(gòu)成，其中每個星體的線度（直徑）都遠(yuǎn)小于兩星體間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)做孤立系統(tǒng)處理。已知某雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是M0，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，引力常量為G。 求：

①該雙星系統(tǒng)中星體的加速度大小a；

②該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動周期T。

(2)微觀世界與宏觀世界往往存在奇妙的相似性。對于氫原子模型，因?yàn)樵�子核的質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子質(zhì)量，可以忽略原子核的運(yùn)動，形成類似天文學(xué)中的恒星-行星系統(tǒng)，記為模型Ⅰ。另一種模型認(rèn)為氫原子的核外電子并非繞核旋轉(zhuǎn)，而是類似天文學(xué)中的雙星系統(tǒng)，核外電子和原子核依靠庫侖力作用使它們同時繞彼此連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，記為模型Ⅱ。已知核外電子的質(zhì)量為m，氫原子核的質(zhì)量為M，二者相距為r，靜電力常量為k，電子和氫原子核的電荷量大小均為e。

①模型Ⅰ、Ⅱ中系統(tǒng)的總動能分別用EkⅠ、 EkⅡ表示，請推理分析，比較EkⅠ、 EkⅡ的大小關(guān)系；

②模型Ⅰ、Ⅱ中核外電子做勻速圓周運(yùn)動的周期分別用TⅠ、TⅡ表示，通常情況下氫原子的研究采用模型Ⅰ的方案，請從周期的角度分析這樣簡化處理的合理性。

Answer 1

【答案】(1) ① ② (2) ① ②,因?yàn)?/span>M>>m，可得TⅠ≈TⅡ，所以采用模型Ⅰ更簡單方便。

【解析】（1）①根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：

解得 ②

②由運(yùn)動學(xué)公式可知，

解得

（2）①模型Ⅰ中，設(shè)電子和原子核的速度分別為v對于電子繞核的運(yùn)動，根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律有

解得：

模型Ⅱ中，設(shè)電子和原子核的速度分別為v1、v2，電子的運(yùn)動半徑為r1，原子核的運(yùn)動半徑為r2。根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律

對電子有： ，解得

對于原子核有： ，解得

系統(tǒng)的總動能：EkⅡ=Ek1+ Ek2=

即在這兩種模型中，系統(tǒng)的總動能相等。

②模型Ⅰ中，根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律有

，解得

模型Ⅱ中，電子和原子核的周期相同，均為TⅡ

根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律

對電子有 ， 解得

對原子核有 ， 解得

因r1+r2=r，將以上兩式代入，可解得

所以有

因?yàn)?/span>M>>m，可得TⅠ≈TⅡ，所以采用模型Ⅰ更簡單方便。