Question

6．利用萬(wàn)有引力定律可以測(cè)量中心天體的質(zhì)量，通常有兩種方法，例如：測(cè)地球質(zhì)量．
（1）測(cè)地球的質(zhì)量的第一種方法
英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許，在實(shí)驗(yàn)室里巧妙地利用扭秤裝置，比較精確地測(cè)量出了引力常量的數(shù)值，他把自己的實(shí)驗(yàn)說(shuō)成是“稱量地球的質(zhì)量”．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G．若忽略地球自轉(zhuǎn)影響，求地球的質(zhì)量．
（2）測(cè)地球的質(zhì)量的第二種方法
月球在地球引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，月球繞地球的運(yùn)行周期為T，地球與月球兩球心的距離為r，已知引力常量為G．求地球質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)地球表面物體的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力即可求出；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力即可求出．

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，地球表面某物體的質(zhì)量為m，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，則有：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{{g{R^2}}}{G}$；
（2）設(shè)地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為m，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}r$
解得：M=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$．
答：（1）測(cè)地球的質(zhì)量的第一種方法中地球的質(zhì)量為$\frac{{g{R^2}}}{G}$．
（2）測(cè)地球的質(zhì)量的第二種方法中，地球的質(zhì)量為$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決此題的關(guān)鍵是知道萬(wàn)有引力在不同的位置充當(dāng)?shù)淖饔貌煌�，地面上等于重力，天體運(yùn)動(dòng)中等于向心力．