Question

7．如圖所示，水平傳送帶AB的右端與在豎直面內的用內徑光滑的鋼管彎成的“9”形固定軌道相接，鋼管內徑很小．傳送帶的運行速度v₀=4.0m/s，將質量m=1kg的可看做質點的滑塊無初速地放在傳送帶的A端．已知傳送帶長度L=4.0m，離地高度h=0.4m，“9”字全高H=0.6m，“9”字上半部分圓弧半徑R=0.1m，滑塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.2，重力加速度g=10m/s²，試求：
（1）滑塊從傳送帶A端運動到B端所需要的時間．
（2）滑塊滑到軌道最高點C時對軌道作用力的大小和方向．
（3）滑塊從D點拋出后的水平射程．

Answer 1

分析 （1）滑塊放在傳送帶上，開始階段做勻加速運動，由牛頓第二定律求出加速度，由速度求出滑塊加速到與傳送帶相同所需要的時間，由位移公式求出加速過程的位移，判斷滑塊是否到達B點．若沒有到達B點，之后滑塊做勻速直線運動，求出時間．
（2）滑塊由B到C的過程中只有重力做功，其機械能守恒，求出滑塊到達最高點時的速度．到達最高時，由重力和軌道對滑塊的壓力提供滑塊的向心力，由牛頓第二、三定律求解滑塊滑到軌道最高點C時對軌道作用力的大小和方向．
（3）滑塊從C到D的過程中機械能守恒，求出滑塊到D點時的速度．滑塊從D點滑出后做平拋運動，根據運動的分解法求出水平射程

解答 解：（1）滑塊在傳送帶上加速運動時，由牛頓第二定律得知
   μmg=ma
得a=2m/s²
加速到與傳送帶速度相同所需時間為t=$\frac{{v}_{0}}{a}$=2s
此過程位移s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=4m
此時物塊恰好到達B端，所以滑塊從A端運動到B端的時間為t=2s．
（2）滑塊由B到C的過程中機械能守恒，則有
   mgH+$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
滑塊滑到軌道最高點C時，由牛頓第二定律得
   F_N+mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$
解得，F_N=30N
根據牛頓第三定律得到，滑塊對軌道作用力的大小F_N′=F_N=30N，方向豎直向上．
（3）滑塊從C到D的過程中機械能守恒，得：mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得v_D=2$\sqrt{2}m/s$D點到水平地面的高度HD=h+（H-2R）=0.8m
由H_D=$\frac{1}{2}gt{′}^{2}$得，t′=$\sqrt{\frac{2{H}_{D}}{g}}$=0.4s
所以水平射程為x=v_Dt′=1.1m
答：（1）滑塊從傳送帶A端運動到B端所需要的時間是2s．
（2）滑塊滑到軌道最高點C時對軌道作用力的大小為30N，方向豎直向上．
（3）滑塊從D點拋出后的水平射程．是1.1m．

點評 本題按程序進行分析，根據牛頓定律分析運動過程．對于圓周運動，根據機械能守恒和牛頓運動定律結合求力是常用的方法．