Question

16．如圖（1）所示，兩足夠長(zhǎng)平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為0.8m，導(dǎo)軌平面與水平面夾角為α，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．有一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌平面斜向上，長(zhǎng)為1m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌電接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為0.1kg、與導(dǎo)軌接觸端間電阻為1Ω．兩金屬導(dǎo)軌的上端連接右端電路，電路中R₂為一電阻箱．已知燈泡的電阻R_L=4Ω，定值電阻R₁=2Ω，調(diào)節(jié)電阻箱使R₂=12Ω，重力加速度g=10m/s²．將電鍵S打開，金屬棒由靜止釋放，1s后閉合電鍵，如圖（2）所示為金屬棒的速度隨時(shí)間變化的圖象．求：
（1）斜面傾角α及磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）若金屬棒下滑距離為60m時(shí)速度恰達(dá)到最大，求金屬棒由靜止開始下滑100m的過(guò)程中，整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱；
（3）改變電阻箱R₂的值，當(dāng)R₂為何值時(shí)，金屬棒勻速下滑時(shí)R₂消耗的功率最大；消耗的最大功率為多少？

Answer 1

分析 （1）電鍵S打開，ab棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由速度圖象求出加速度，由牛頓第二定律求解斜面的傾角α．開關(guān)閉合后，導(dǎo)體棒最終做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由F_安=BIL，I=$\frac{{BL{v_m}}}{R_總}(cāng)$得到安培力表達(dá)式，由重力的分力mgsinα=F_安，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B．
（2）金屬棒由靜止開始下滑100m的過(guò)程中，重力勢(shì)能減小mgSsinα，轉(zhuǎn)化為金屬棒的動(dòng)能和整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱，由能量守恒求解電熱．
（3）改變電阻箱R₂的值后，由金屬棒ab勻速運(yùn)動(dòng)，得到干路中電流表達(dá)式，推導(dǎo)出R₂消耗的功率與R₂的關(guān)系式，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解R₂消耗的最大功率．

解答 解：（1）電鍵S打開，從圖上得：$a=gsinα=\frac{△v}{△t}=5$m/s²
得 sinα=$\frac{1}{2}$，則得α=30°；
金屬棒勻速下滑時(shí)速度最大，此時(shí)棒所受的安培力為：F_安=BIL，
又 I=$\frac{{BL{v_m}}}{R_總}(cāng)$，${R_總}(cāng)={R_{ab}}+{R_1}+\frac{{{R_2}{R_L}}}{{{R_2}+{R_L}}}=（1+2+\frac{4×12}{4+12}）Ω=6Ω$，
從圖上得：v_m=18.75m/s，
由平衡條件得：mgsinα=F_安，所以mgsinα=$\frac{{{B^2}{L^2}{v_m}}}{R_總}(cāng)$
得：$B=\sqrt{\frac{{mgsinα•{R_總}(cāng)}}{{{V_m}•{L^2}}}}=\sqrt{\frac{{0.1×10×\frac{1}{2}×6}}{{18.75×0．{8^2}}}}$T=0.5T；
（2）由動(dòng)能定理：$mg•S•sinα-Q=\frac{1}{2}mv_m^2-0$
得 $Q=mg•S•sinα-\frac{1}{2}mv_m^2$=32.42J；
（3）改變電阻箱R₂的值后，金屬棒勻速下滑時(shí)的速度為v_m′，則有
mgsinα=BI_總L，${R_并}′=\frac{{{R_2}{R_L}}}{{{R_2}+{R_L}}}=（\frac{{4{R_2}}}{{4+{R_2}}}）Ω$，
R₂消耗的功率：P₂=$\frac{U_并^2}{R^2}$=$\frac{{{{（{I_總}(cāng){R_并}′）}^2}}}{R_2}$=$\frac{{{{（\frac{mgsinα}{BL}•{R_并}′）}^2}}}{R_2}$=${（\frac{mgsinα}{BL}）^2}•\frac{{{{（\frac{{4{R_2}}}{{4+{R_2}}}）}^2}}}{R_2}$=${（\frac{mgsinα}{BL}）^2}×\frac{{16{R_2}}}{{16+8{R_2}+R_2^2}}={（\frac{mgsinα}{BL}）^2}×\frac{16}{{\frac{16}{R_2}+8+{R_2}}}$
當(dāng)R₂=4Ω時(shí)，R₂消耗的功率最大：
P_2m=${（\frac{mgsinα}{BL}）^2}×\frac{16}{{16{R_2}+8+{R_2}}}=\frac{25}{16}$W=1.5625W．
答：（1）斜面傾角α是30°，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是0.5T；
（2）若金屬棒下滑距離為60m時(shí)速度恰達(dá)到最大，金屬棒由靜止開始下滑100m的過(guò)程中，整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱是32.42J；
（3）改變電阻箱R₂的值，當(dāng)R₂為4Ω時(shí)，金屬棒勻速下滑時(shí)R₂消耗的功率最大，消耗的最大功率為1.5625W．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問(wèn)題，由速度圖象求得加速度，推導(dǎo)安培力與速度的表達(dá)式是關(guān)鍵步驟，難點(diǎn)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析R₂消耗的功率何時(shí)最大．