Question

13．蕩秋千是大家喜愛(ài)的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)．隨著科技迅速發(fā)展，將來(lái)的某一天，同學(xué)們也會(huì)在其他星球上享受蕩秋千的樂(lè)趣．假設(shè)你當(dāng)時(shí)所在星球的質(zhì)量為M，半徑為R，可將人視為質(zhì)點(diǎn)，秋千質(zhì)量不計(jì)、擺長(zhǎng)不變、擺角小于90°，引力常量為G．那么：
（1）該星球表面附近時(shí)重力加速度g_星等于多少？
（2）若經(jīng)過(guò)最低位置的速度為v₀，你對(duì)秋千的壓力是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力列式求解；
（2）根據(jù)重力和支持力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力列式求解．

解答 解：（1）據(jù)在星球表面附近的重力等于萬(wàn)有引力，有：
$m{g}_{星}=G\frac{mM}{{R}^{2}}$
該星球的表面附近的重力加速度${g}_{星}=G\frac{M}{{R}^{2}}$
（2）人蕩到秋千最低點(diǎn)時(shí)，秋千對(duì)人的支持力和人的重力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$N-m{g}_{星}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
所以秋千對(duì)人的支持力$N=m{g}_{星}+m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$=$G\frac{mM}{{R}^{2}}+m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$
根據(jù)牛頓第三定律知，人對(duì)秋千板的壓力為$G\frac{mM}{{R}^{2}}+m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$．
答：（1）該星球表面附近時(shí)重力加速度g_星等于$G\frac{M}{{R}^{2}}$；
（2）若經(jīng)過(guò)最低位置的速度為v₀，你對(duì)秋千的壓力是$G\frac{mM}{{R}^{2}}+m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$．

點(diǎn)評(píng) 在星球表面重力等于萬(wàn)有引力，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，注意求的是人對(duì)秋千板的壓力，要適當(dāng)交代．