Question

1．如圖所示，某一空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)．左側(cè)區(qū)域勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向水平向右，電場(chǎng)寬度為L(zhǎng)；中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外．右側(cè)區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B，方向垂直紙面向里，其右邊界可向右邊無(wú)限延伸．一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（重力不計(jì)）從電場(chǎng)左邊界上的O點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)中間的磁場(chǎng)區(qū)域后進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域，又回到O點(diǎn)，然后重復(fù)上述過(guò)程．求：
（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率；
（2）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d；
（3）帶電粒子從O點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）帶正電的粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理可以求出粒子的速度；理即可求解帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率；
（2）粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出軌跡的半徑．根據(jù)幾何關(guān)系求解中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度；
（3）先求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求出在兩段磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，三者之和即可帶電粒子從O點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：
qEL=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$；          
（2）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得粒子軌道半徑：R=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$，
兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，粒子在兩磁場(chǎng)中的軌道半徑相等，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
三段圓弧的圓心組成的三角形△O₁O₂O₃是等邊三角形，
其邊長(zhǎng)為2R．所以中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為：
d=Rsin60°=$\frac{1}{2B}$$\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$；        
（3）粒子在電場(chǎng)中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
t₁=2$\frac{v}{a}$=2$\frac{v}{\frac{qE}{m}}$=2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
在中間磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=2×$\frac{θ}{360°}$T=2×$\frac{60°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$，
在右側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₃=$\frac{θ′}{360°}$T=$\frac{300°}{360°}$×$\frac{2πm}{q×2B}$=$\frac{5πm}{6qB}$，
則粒子第一次回到O點(diǎn)的所用時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{3πm}{2qB}$；
答：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$；
（2）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為$\frac{1}{2B}$$\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$；
（3）帶電粒子從O開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用的時(shí)間為2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{3πm}{2qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，靜止的帶點(diǎn)粒子在電場(chǎng)作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式，難度適中．