Question

17．如圖所示，一個足夠長的斜面，AC部分的長度為4L，C點以下光滑，C點以上粗糙，B是AC的中點．一根原長為2L的輕彈簧下端固定在A點，上端放置一個長為L、質(zhì)量為m的均勻木板PQ，木板靜止時，彈簧長度變?yōu)?\frac{7}{4}$L．已知斜面的傾角為θ，木板與斜面粗糙部分的動摩擦因數(shù)μ=2tanθ，木板受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g．現(xiàn)將木板沿斜面緩慢下壓，當彈簧長度變?yōu)長時，釋放木板，發(fā)現(xiàn)木板的Q端剛好能到達C點；求：

（1）彈簧的勁度系數(shù)；
（2）若木板被截掉三分之一后，再次將木板沿斜面緩慢下壓，當彈簧長度變?yōu)長時，釋放木板，求木板上端到達C點時的速度大��；
（3）若將木板換成一質(zhì)量為$\frac{m}{2}$可看作質(zhì)點的物塊，再次將物塊沿斜面緩慢下壓，當彈簧長度變?yōu)長時，釋放物塊，求物塊被釋放后能在斜面粗糙部分前進的距離．

Answer 1

分析 （1）當木板靜止時，對木板受力分析，運用平衡條件和胡克定律求彈簧的勁度系數(shù)．
（2）木板從被釋放至Q端到C點，利用動能定理列式．木板被截掉三分之一后再被彈簧彈開，再運用動能定理列式，聯(lián)立可得木板上端到達C點時的速度．
（3）根據(jù)動能定理求出物塊被釋放后能在斜面粗糙部分前進的距離．

解答 解：（1）當木板靜止時，對木板受力分析，由力的平衡有：$k（2L-\frac{7}{4}L）=mgsinθ$，
解得彈簧的勁度系數(shù)k=$\frac{4mgsinθ}{L}$．
（2）木板從被釋放至Q端到C點，設彈簧彈力做功為W，由動能定理有：
W-mg•2Lsinθ=0
木板被截掉三分之一后再被彈簧彈開，設木板上端到達C點時的速度為v，由動能定理有：
W-$\frac{2}{3}mg•\frac{7}{3}Lsinθ=\frac{1}{2}•\frac{2}{3}m{{v}_{C}}^{2}$，
聯(lián)立解得v_C=$\sqrt{\frac{4gLsinθ}{3}}$．
（3）根據(jù)動能定理得，$W-\frac{1}{2}mg•3Lsinθ-\frac{1}{2}mgssinθ$$-μ•\frac{1}{2}mgcosθ•s$=0，
解得s=$\frac{L}{3}$．
答：（1）彈簧的勁度系數(shù)為$\frac{4mgsinθ}{L}$．
（2）木板上端到達C點時的速度大小為$\sqrt{\frac{4gLsinθ}{3}}$．
（3）物塊被釋放后能在斜面粗糙部分前進的距離為$\frac{L}{3}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵要抓住木板恰好靜止在斜面上的臨界條件：重力沿斜面向下的分力等于最大靜摩擦力．運用動能定理時，要注意選取研究的過程．