Question

13．如圖所示，兩顆繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星A、B分別距地高R、2R，兩衛(wèi)星軌道在同一平面內(nèi)，且兩衛(wèi)星均沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，求：
（1）衛(wèi)星A的運(yùn)行速度大小；
（2）從兩衛(wèi)星相距最近到兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)所經(jīng)歷的最短時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星繞地球圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，在地球表面重力與萬(wàn)有引力相等，據(jù)此分析求解；
（2）衛(wèi)星由相距最近到相距最遠(yuǎn)時(shí)，近地衛(wèi)星比遠(yuǎn)地衛(wèi)星多運(yùn)動(dòng)π弧度，根據(jù)角速度關(guān)系求解即可．

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
衛(wèi)星A質(zhì)量為m_A 有$G\frac{mM}{（2R）^{2}}=m\frac{{v}_{A}^{2}}{2R}$
解得：v_A=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
（2）設(shè)兩顆繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星A、B角速度大小分別為ω_A、ω_B
萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{（2R）^{2}}=m2R{ω}_{A}^{2}$
$G\frac{mM}{（3R）^{2}}=m3R{ω}_{B}^{2}$
從某時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近到兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的最短時(shí)間t，則據(jù)幾何關(guān)系有：（ω_A-ω_B）t=π
由以上各式可解得：t=$\frac{6（9\sqrt{2}+4\sqrt{3}）π}{19}\sqrt{\frac{R}{g}}$
答：（1）衛(wèi)星A的運(yùn)行速度大小為$\sqrt{\frac{gR}{2}}$；
（2）從兩衛(wèi)星相距最近到兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)所經(jīng)歷的最短時(shí)間t為$\frac{6（9\sqrt{2}+4\sqrt{3}）π}{19}\sqrt{\frac{R}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵著手點(diǎn)為：星球表面重力與萬(wàn)有引力相等，萬(wàn)有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．