Question

16．如圖甲所示，一質(zhì)量為m、帶電量為q的正電粒子（不計(jì)重力），在圖中t=0時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn)O處以初速度v₀沿x軸正方向射入磁場中．已知磁場只有x≥0區(qū)域存在，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B₀不變，方向周期性變化，其變化規(guī)律如圖乙所示，設(shè)粒子剛射入時(shí)的磁場方向恰好垂直紙面向里．

（1）當(dāng)磁場的變化周期T=$\frac{πm}{q{B}_{0}}$時(shí)，求粒子在t=T時(shí)刻的位置．
（2）為使粒子不射出磁場，磁場的變化周期T應(yīng)符合什么條件？

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B₀不變，則粒子勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不變．由洛倫茲力提供向心力，列式求出軌跡半徑．由圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出周期，畫出粒子在磁場中的軌跡，由幾何關(guān)系求出粒子在t=T時(shí)刻的位置．
（2）粒子恰好不射出磁場時(shí)，其軌跡與y軸相切，畫出軌跡，求出磁場變化的最大周期，即可得解．

解答  解：（1）據(jù)題，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B₀不變，則知粒子勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不變．由洛倫茲力提供向心力，得
  qv₀B₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，得 R=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$
粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期 T₀=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
又由磁場變化的周期 T=$\frac{πm}{q{B}_{0}}$，得 T=$\frac{{T}_{0}}{2}$，則在T時(shí)間內(nèi)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示．
所以粒子在t=T時(shí)刻的位置：x=2R=$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$，y=2R=$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$．
即位置坐標(biāo)為（$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$，$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$）．
（2）設(shè)磁場變化周期最大值為T_m．則粒子恰好不能從磁場射出，粒子在一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情景如圖2所示，由對稱知，粒子從O點(diǎn)到M點(diǎn)與從M到P點(diǎn)時(shí)間相等．
由sinθ=$\frac{R}{2R}$=0.5，θ=30°，α=150°
所以有 $\frac{{T}_{m}}{2}$=$\frac{150°}{360°}$T₀=$\frac{5πm}{6q{B}_{0}}$，解得 T_m=$\frac{5πm}{3q{B}_{0}}$
故磁場的變化周期T應(yīng)滿足：0＜T＜$\frac{5πm}{3q{B}_{0}}$．
答：
（1）當(dāng)磁場的變化周期T=$\frac{πm}{q{B}_{0}}$時(shí)，粒子在t=T時(shí)刻的位置坐標(biāo)為（$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$，$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$）．
（2）為使粒子不射出磁場，磁場的變化周期T應(yīng)滿足：0＜T＜$\frac{5πm}{3q{B}_{0}}$．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的問題，分析粒子的受力情況，確定其運(yùn)動(dòng)情況，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)求解坐標(biāo)．