Question

13．如圖所示，垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)．一個(gè)帶正電的粒子僅在磁場(chǎng)力的作用下，從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀剛好從c點(diǎn)射出磁場(chǎng)．求
（1）帶電粒子在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的速度大�。�
（2）現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，則能在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)的時(shí)間為多少？
（3）現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成60°角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，則能從ab邊射出所對(duì)應(yīng)的速度至少為多大．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出粒子的軌道半徑，然后根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間求出粒子的速度．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角越大，粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，求出粒子的最大圓心角，然后求出粒子的最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，求出粒子的軌道半徑，然后由牛頓第二定律求出粒子的速度．

解答 解：（1）由題意可知，從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀剛好從c點(diǎn)射出磁場(chǎng)，則粒子的軌道半徑為：r=$\frac{L}{4}$，
粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₀=$\frac{1}{2}$T，則粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=2t₀，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{πL}{2v}$，
則粒子的速度：v=$\frac{πL}{4{t}_{0}}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=2t₀，
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{θ{t}_{0}}{π}$，
粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ越大，粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°角的方向射入磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的最大圓心角：θ_max=300°=$\frac{5π}{3}$，
粒子的最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t_max=$\frac{5}{3}$t₀；
（3）粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成60°角的方向射入正方形內(nèi)，恰好能從ab邊射出時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與ab邊相切，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)得：rsin30°+r=L，
解得：r=$\frac{2}{3}$L，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
由（2）可知：T=$\frac{2πm}{qB}$=2t₀，
解得：v=$\frac{2πL}{3{t}_{0}}$，
粒子要從ab邊射出，粒子的速度：v≥$\frac{2πL}{3{t}_{0}}$；
答：（1）帶電粒子在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的速度大小為$\frac{πL}{4{t}_{0}}$．
（2）能在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)的時(shí)間為$\frac{5}{3}$t₀．
（3）能從ab邊射出所對(duì)應(yīng)的速度至少為$\frac{2πL}{3{t}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)類型，抓住粒子的周期一定，根據(jù)速度的偏向角等于軌跡的圓心角，由圓心角確定粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．