Question

【題目】某工地一傳輸工件的裝置可簡(jiǎn)化為如圖所示的情形，AB為一段足夠大的圓弧固定軌道，圓弧半徑R=5.6m，BC為一段足夠長(zhǎng)的水平軌道，CD為一段圓弧固定軌道，圓弧半徑r=1m，三段軌道均光滑．一長(zhǎng)為L(zhǎng)=2m、質(zhì)量為M=1kg的平板小車最初停在BC軌道的最左端，小車上表面剛好與AB軌道相切，且與CD軌道最低點(diǎn)處于同一水平面．一可視為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量為m=2kg的工件從距AB軌道最低點(diǎn)h高處沿軌道自由滑下，滑上小車后帶動(dòng)小車也向右運(yùn)動(dòng)，小車與CD軌道左端碰撞（碰撞時(shí)間極短）后即被粘在C處．工件只有從CD軌道最高點(diǎn)飛出，才能被站在臺(tái)面DE上的工人接住．工件與小車的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，取g=10m/s2，，求:

（1）若h為2.8m，則工件滑到圓弧底端B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為多大？

（2）要使工件能被站在臺(tái)面DE上的工人接住h的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）40N；（2）

【解析】(1)工件從起點(diǎn)滑到圓弧軌道底端B點(diǎn),設(shè)到B點(diǎn)時(shí)的速度為vB，根據(jù)動(dòng)能定理：

工件做圓周運(yùn)動(dòng)，在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：

由①②兩式可解得：N=40N

由牛頓第三定律知,工件滑到圓弧底端B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為N′=N=40N

(2)①由于BC軌道足夠長(zhǎng),要使工件能到達(dá)CD軌道,工件與小車必須能達(dá)共速,設(shè)工件剛滑上小車時(shí)的速度為v0,工件與小車達(dá)共速時(shí)的速度為v1，假設(shè)工件到達(dá)小車最右端才與其共速，規(guī)定向右為正方向，則對(duì)于工件與小車組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得：

mv0=(m+M)v1

由能量守恒定律得：

對(duì)于工件從AB軌道滑下的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：

代入數(shù)據(jù)解得：h1=3m.

②要使工件能從CD軌道最高點(diǎn)飛出,h1=3m為其從AB軌道滑下的最大高度,設(shè)其最小高度為h′,剛滑上小車的速度為v′0,與小車達(dá)共速時(shí)的速度為v′1,剛滑上CD軌道的速度為v′2，規(guī)定向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：

mv′0=(m+M)v′1…⑥

由能量守恒定律得：

工件恰好滑到CD軌道最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得：

工件在AB軌道滑動(dòng)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：

聯(lián)立。⑥⑦⑧⑨,代入數(shù)據(jù)解得：h′=m

綜上所述,要使工件能到達(dá)CD軌道最高點(diǎn),應(yīng)使h滿足： m<h3m.