Question

13．據(jù)悉，神舟十號飛船計(jì)劃于2013年6月上旬發(fā)射，它標(biāo)志著我國載人航天工程技術(shù)日臻成熟．現(xiàn)假設(shè)飛船正常飛行地圓軌道半徑為R，若要返回地面，可在軌道上某點(diǎn)A處，將速率減小到適當(dāng)值，使飛船沿著以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)動（在橢圓軌道上只受重力作用），橢圓與地球表面在B點(diǎn)相切（即著地點(diǎn)），假設(shè)著陸時(shí)不用減速，已知地球半徑為R₀，地表處的重力加速度為g．求：
（1）飛船由A到B經(jīng)歷多長時(shí)間？
（2）飛船在A點(diǎn)應(yīng)該減小到多大的速率？
（提示：開普勒第二定律可用公式表達(dá)為v₁r₁=v₂r₂，即橢圓軌道上任意兩處的線速度v與距地球球心距離r的乘積相等）

Answer 1

分析 （1）飛船返回時(shí)是沿地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行，由開普勒第三定律可求飛船的返回時(shí)間；（2）根據(jù)萬有引力定律和開普勒第二定律（公式表達(dá)為v₁r₁=v₂r₂）可求飛船在A點(diǎn)應(yīng)該減小到的速率．

解答 解：（1）飛船返回時(shí)間為運(yùn)行周期T′的一半，而半長軸為$\frac{1}{2}（R+{R}_{0}）$，
由開普勒定律可得：$\frac{{R}^{2}}{{T}^{3}}=\frac{{（\frac{R+{R}_{0}}{2}）}^{2}}{T{′}^{3}}$，
所以飛船由A到B經(jīng)歷的時(shí)間$t=\frac{1}{2}T′$．
以上各式聯(lián)立得，$t=\frac{\sqrt{2}}{8}{（1+\frac{{R}_{0}}{R}）}^{\frac{3}{2}}T$．
（2）飛船著陸時(shí)，有：$\frac{{m{v}_{B}}^{2}}{{R}_{0}}=mg$
根據(jù)開普勒第二定律知，v_AR=v_BR₀
兩式聯(lián)立得，飛船在A點(diǎn)應(yīng)該減小到的速率：${v}_{A}=\frac{{R}_{0}}{R}\sqrt{{gR}_{0}}$．
答：（1）飛船由A到B經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{\sqrt{2}}{8}{（1+\frac{{R}_{0}}{R}）}^{\frac{3}{2}}T$；
（2）飛船在A點(diǎn)應(yīng)該減小到的速率為$\frac{{R}_{0}}{R}\sqrt{{gR}_{0}}$．

點(diǎn)評 開普勒定律雖是對太陽行星而言，同樣也適用于地球衛(wèi)星系統(tǒng)，繞同一天體運(yùn)行的星體可用開普勒第三定律研究半徑和周期的關(guān)系．