Question

2．如圖所示，以兩虛線為邊界，中間存在平行紙面且與邊界垂直的水平電場(chǎng)，寬度為d，兩側(cè)為相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里．質(zhì)量為m、帶電量+q、重力不計(jì)的帶電粒子，以初速度v₁垂直邊界射入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后進(jìn)入電場(chǎng)做勻加速運(yùn)動(dòng)，然后第二次進(jìn)入磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，此后離子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中交替運(yùn)動(dòng)，已知粒子第二次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此類推，求：
（1）粒子第二次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）粒子第一次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)的過(guò)程中電場(chǎng)力所做的功W₁；
（3）粒子第n次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的半徑R_n與速度的關(guān)系式，由題給條件研究粒子第2次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，即粒子第一次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)的過(guò)程的末速度，
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求解粒子第一次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)的過(guò)程中電場(chǎng)力所做的功W₁．
（2）根據(jù)第（1）問(wèn)的結(jié)果可知粒子第n+1次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)和第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，即第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)和穿出電場(chǎng)時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子第n次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E_n．

解答 解：（1）設(shè)粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的半徑為${R}_{n}^{\;}$，速度為${v}_{n}^{\;}$，由牛頓第二定律得：
$q{v}_{n}^{\;}B=m\frac{{v}_{n}^{2}}{{R}_{n}^{\;}}$①
由①式得：${v}_{n}^{\;}=\frac{qB{R}_{n}^{\;}}{m}$②
因?yàn)?{R}_{2}^{\;}=2{R}_{1}^{\;}$，③
所以有${v}_{2}^{\;}=2{v}_{1}^{\;}$④
（2）對(duì)粒子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，
由動(dòng)能定理得：${W}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m（2{v}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{3}{2}m{v}_{1}^{2}$⑤
（3）粒子第n次進(jìn)入電場(chǎng)的速度為${v}_{n}^{\;}$，穿出電場(chǎng)時(shí)速度為${v}_{n+1}^{\;}$，
由題意知：${v}_{n}^{\;}=n{v}_{1}^{\;}$，${v}_{n+1}^{\;}=（n+1）{v}_{1}^{\;}$⑥
由動(dòng)能定理得：$q{E}_{n}^{\;}d=\frac{1}{2}m{v}_{n+1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{n}^{2}$⑦
聯(lián)立解得：${E}_{n}^{\;}=\frac{（2n+1）m{v}_{1}^{2}}{2qd}$⑧
答：（1）粒子第二次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度$2{v}_{1}^{\;}$；
（2）粒子第一次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)的過(guò)程中電場(chǎng)力所做的功${W}_{1}^{\;}$為$\frac{3}{2}m{v}_{1}^{2}$；
（3）粒子第n次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小${E}_{n}^{\;}$為$\frac{（2n+1）m{v}_{1}^{2}}{2qd}$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是充分應(yīng)用題給條件研究粒子第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度，穿出電場(chǎng)時(shí)速度．動(dòng)能定理是功常用的方法．